$n$を正の整数とする．

(1)$x>y>0$とするとき，次の不等式を証明せよ．
\[ x^{n+1}-y^{n+1} > (n+1)(x-y)y^n \]
(2)$\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$と$\displaystyle \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}$の大小を比較せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{[アイ]}$，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$である．

(2)$|\abs{x-1|-2}=3$の解は$x=[エオ],\ [カ]$である．
(3)$2$つの$2$次関数$y=6x^2+2kx+k$，$y=-x^2+(k-6)x-1$のグラフが両方とも$x$軸と共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]<k<[ク]$である．
(4)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$で$\displaystyle \tan \theta=-\frac{4}{3}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケコ]}{[サ]}$であり，$\displaystyle \sin (180^\circ-\theta)=\frac{[シ]}{[ス]}$である．
(5)不等式$\displaystyle \frac{2x-5}{4}<\frac{x+4}{3} \leqq \frac{3x+1}{6}$の解は$\displaystyle [セ] \leqq x<\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(6)$1$から$100$までの整数のうち，$4$の倍数かつ$6$の倍数である整数は$[ツ]$個あり，$4$の倍数または$6$の倍数である整数は$[テト]$個ある．
(7)$1$個のさいころを投げて，偶数の目が出たときはその目の数の$2$倍を得点とし，奇数の目が出たときはその目の数の$3$倍を得点とするゲームを行う．このとき，このゲームの得点の期待値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$である．
(8)図のように，直線$\ell$は中心を$\mathrm{O}$とする円と点$\mathrm{A}$において接している．また，$\ell$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{O}$を通る直線と円との交点を図のように$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{PAB}=115^\circ$であるとする．このとき，
\[ \angle \mathrm{ABC}=[エオ]^\circ,\quad \angle \mathrm{APC}=[カキ]^\circ \]
である．
（図は省略）

$p$を$0 \leqq p<1$を満たす定数とし，$x$の関数$f(x)$を次のように定める．
\[ f(x)=|x+1|+|x-1|+|x-p| \]
以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle p=\frac{1}{2}$として，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$x$軸，$x=-1,\ x=1$と$y=f(x)$とで囲まれてできる図形の面積を$S$とする．$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$S$を最小にする$p$の値と，そのときの$S$の値を求めよ．

半径が$1 \; \mathrm{m}$の円形のブリキ板から，中心角が$90^\circ$の扇形の部分を切り落して残りの部分で下図のような円錐形の容器を作る．
（図は省略）

(1)この容器の底面の半径は$\displaystyle r=\frac{[ク]}{[ケ]} \; \mathrm{m}$，深さは$\displaystyle h=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]} \; \mathrm{m}$である．

(2)この容器に，その深さの$\displaystyle \frac{2}{3}$のところまで水を入れるとき，その水の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シ]}}{[スセ]} \pi \; \mathrm{m}^3$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \log_{10} \frac{8}{\sqrt[3]{5.4 \times 10^{-8}}}=[ア]+\frac{[イ]}{[ウ]} \log_{10}2-\log_{10}3$である．
(2)$0 \leqq x<\pi$のとき，$\sin 2x-\sqrt{3} \cos 2x=1$を満たす$x$の値は
\[ x=\frac{\pi}{[エ]},\quad \frac{[オ]}{[カキ]} \pi \]
である．

以下の問に答えよ．

(1)$a$を$0$以上$7$以下の整数，$b$を$88$以下の正の整数，$c$を$1024$の倍数とする．このとき，$89a+b$のとり得る値の最大値は
[ア][イ][$1$]である．$89a+b-c+669$が$1024$の倍数のとき，$89a+b=[ウ][エ][$5$]$となって，$a=[オ]$，$b=[カ][$8$]$となる．
(2)数列
\[ \{a_n\} : \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{3}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{5}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{5}{4},\ \frac{7}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots \]
について次の問いに答えよ．

(i) $\displaystyle \frac{35}{49}$は数列$\{a_n\}$の第$\kakkofour{キ}{ク}{ケ}{4}$項である．
(ii) 数列$\{a_n\}$の第$2008$項は
\[ a_{2008}=\frac{[コ][サ][9]}{[シ][3]} \]
である．
(iii) 数列$\{a_n\}$の初項から第$1005$項までの和は
\[ [ス][セ][5] \]
である．

数列$\{a_n\}$を初項$1$，公差$\displaystyle \frac{1}{2}$の等差数列，$\{b_n\}$を初項$2$，公比$\displaystyle \frac{1}{2}$の等比数列とし，$\{c_n\}$を$c_1=3$，$c_{n+1}-c_n=n+1$で定まる数列とする．また，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の点$(a_n,\ b_n,\ c_n)$を$\mathrm{P}_n$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\left( \frac{[キ]}{[ク]} (n+[ケ]),\ 2^{[コ]-n},\ \frac{[サ]}{[シ]}(n^2+n+[ス]) \right)$である．

(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}=\left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ -[タ]^{1-n},\ n+[チ] \right)$である．

(3)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}|>100$となるような最小の自然数$n$は$[ツテ]$である．

式$\displaystyle \frac{7x^2+5y^2}{(x+y)^2} \ (x+y \neq 0)$の最小値と，最小値をとるときの$\displaystyle \frac{y}{x}$の値を求めよ．

方程式$\displaystyle x^{\log_3 9x}= \left( \frac{x}{3} \right)^8 \ (x>0)$を解け．

連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{1}{2}x^2 < \frac{3}{2}-x \\
3x-1 \leqq 5x+3
\end{array}
\right. \]
を解け．