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国立 山梨大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)第$n$項が次の式で表される数列の極限を求めよ．
\[ \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2})(5^{n+2}+2^{2n-1})}{5^n+2^{2n}} \]
(2)次の関数を微分せよ．$f(x)=\sqrt{\left( \displaystyle\frac{x-1}{x^2+3} \right)^3}$
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin (2x-\frac{\pi}{4}) \, dx$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} \, dx$を求めよ．
(1)第$n$項が次の式で表される数列の極限を求めよ．
\[ \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2})(5^{n+2}+2^{2n-1})}{5^n+2^{2n}} \]
(2)次の関数を微分せよ．$f(x)=\sqrt{\left( \displaystyle\frac{x-1}{x^2+3} \right)^3}$
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin (2x-\frac{\pi}{4}) \, dx$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} \, dx$を求めよ．
国立 山梨大学 2010年 第2問$\displaystyle f(x)=\cos x+\frac{1}{2}\sin 2x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とする．
(1)関数$f(x)$の最大値と最小値，および，それらを与える$x$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点は$4$個あることを示せ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=\cos x$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の最大値と最小値，および，それらを与える$x$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点は$4$個あることを示せ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=\cos x$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 山梨大学 2010年 第3問$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(2,\ 1)$がある．次の方法により，$\mathrm{A}_n(x_n,\ 0)$，$\mathrm{B}_n(0,\ y_n) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を定める．$\mathrm{A}_1$を$\mathrm{A}_1(6,\ 0)$とする．直線$\mathrm{A}_1 \mathrm{P}$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}_1(0,\ y_1)$とし，直線$\mathrm{B}_1 \mathrm{Q}$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_2(x_2,\ 0)$とする．同様に直線$\mathrm{A}_2 \mathrm{P}$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}_2(0,\ y_2)$とし，直線$\mathrm{B}_2 \mathrm{Q}$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_3(x_3,\ 0)$とする．以下，これを繰り返す．
(1)直線$\mathrm{A}_n \mathrm{P}$の方程式を$x_n$を用いて表せ．また，直線$\mathrm{B}_n \mathrm{Q}$の方程式を$y_n$を用いて表せ．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle z_n=\frac{1}{x_n}$とおくとき，$z_n$を求めることにより，$x_n$を$n$の式で表せ．
(1)直線$\mathrm{A}_n \mathrm{P}$の方程式を$x_n$を用いて表せ．また，直線$\mathrm{B}_n \mathrm{Q}$の方程式を$y_n$を用いて表せ．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle z_n=\frac{1}{x_n}$とおくとき，$z_n$を求めることにより，$x_n$を$n$の式で表せ．
国立 豊橋技術科学大学 2010年 第2問図に示す点$\mathrm{O}$を原点とする直交座標空間に点$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}$を，$xy$平面内で原点$\mathrm{O}$を中心として図に示す矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{Q}$をとる．さらに，点$\mathrm{Q}$および$z$軸を含む平面内で，点$\mathrm{O}$を中心として点$\mathrm{Q}$を矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{R}$をとる．ただし，角度$\theta$の範囲は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{R}$の座標$(x_\mathrm{R},\ y_\mathrm{R},\ z_\mathrm{R})$を，角度$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{ORP}=\frac{\pi}{3}$であるとき，角度$\theta$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$から平面$x+y=0$に下ろした垂線の長さ$l$を，角度$\theta$の関数で表せ．
(4)(3)で求めた垂線の長さ$l$が最大となるときの角度$\theta$の値とそのときの$l$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{R}$の座標$(x_\mathrm{R},\ y_\mathrm{R},\ z_\mathrm{R})$を，角度$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{ORP}=\frac{\pi}{3}$であるとき，角度$\theta$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$から平面$x+y=0$に下ろした垂線の長さ$l$を，角度$\theta$の関数で表せ．
(4)(3)で求めた垂線の長さ$l$が最大となるときの角度$\theta$の値とそのときの$l$の値を求めよ．
国立 鳴門教育大学 2010年 第1問実数$x,\ a$が$x>0$かつ$\displaystyle \sqrt{x}=\frac{1+3a}{3}$を満たすとき，$\sqrt{3x-4a}$を$a$で表せ．
国立 東京海洋大学 2010年 第1問座標平面上の$2$直線$\ell:x \sin \theta-y \cos \theta=0$（ただし$0^\circ \leqq \theta<180^\circ$），$\displaystyle m:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$を考える．$\ell$，$m$に関する対称移動をそれぞれ$f,\ g$とする．
(1)対称移動$f$を表す行列を求めよ．
(2)移動の合成$f \circ g$が原点のまわりの回転移動となることを示せ．また，その回転角を$\theta$を用いて表せ．
(3)移動の合成$f \circ g$を表す行列と$g \circ f$を表す行列が一致するときの$\theta$を求めよ．ただし，$f$と$g$は異なる移動とする．
(1)対称移動$f$を表す行列を求めよ．
(2)移動の合成$f \circ g$が原点のまわりの回転移動となることを示せ．また，その回転角を$\theta$を用いて表せ．
(3)移動の合成$f \circ g$を表す行列と$g \circ f$を表す行列が一致するときの$\theta$を求めよ．ただし，$f$と$g$は異なる移動とする．
国立 東京海洋大学 2010年 第4問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で曲線$C:y=x |x-k|$（ただし$k$は正の定数）と直線$\ell:y=mx$が原点以外に$2$点$\mathrm{P}(\alpha,\ m \alpha)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ m \beta)$で交わっている．ただし$0<\alpha<\beta$とする．
(1)$m$の範囲を$k$で表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積の和$S$を$m$と$k$で表せ．
(3)$S$が最小となるときの$m$を$k$で表せ．
(4)$(3)$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}=\sqrt{2}$であることを示せ．
(1)$m$の範囲を$k$で表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積の和$S$を$m$と$k$で表せ．
(3)$S$が最小となるときの$m$を$k$で表せ．
(4)$(3)$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}=\sqrt{2}$であることを示せ．
国立 東京海洋大学 2010年 第5問次の問いに答えよ．
(1)$x>0$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$x>0$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 早稲田大学 2010年 第2問$x$-$y$平面上の$3$点を
\[ \mathrm{A}(0,\ 9),\quad \mathrm{B}(-3,\ 0),\quad \mathrm{C}(2,\ 0) \]
とし，原点を$\mathrm{O}$とする．このとき，次の各問に答えよ．空欄にあてはまる最もかんたんな数値を解答欄に記入せよ．
(1)$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{BD}$が$y$軸と交わる点を$\mathrm{E}$とするとき，$\mathrm{OE}:\mathrm{EA}=[ ]:[ ]$である．
(2)$\mathrm{CE}$を延長して，$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{F}$とするとき，$\triangle \mathrm{AFC}$の面積は，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の$\displaystyle\frac{[ ]}{[ ]}$である．
\[ \mathrm{A}(0,\ 9),\quad \mathrm{B}(-3,\ 0),\quad \mathrm{C}(2,\ 0) \]
とし，原点を$\mathrm{O}$とする．このとき，次の各問に答えよ．空欄にあてはまる最もかんたんな数値を解答欄に記入せよ．
(1)$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{BD}$が$y$軸と交わる点を$\mathrm{E}$とするとき，$\mathrm{OE}:\mathrm{EA}=[ ]:[ ]$である．
(2)$\mathrm{CE}$を延長して，$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{F}$とするとき，$\triangle \mathrm{AFC}$の面積は，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の$\displaystyle\frac{[ ]}{[ ]}$である．
私立 早稲田大学 2010年 第3問$A$を正定数，角$\theta$を$0^\circ<\theta<45^\circ$とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1 = \frac{A\sin \theta}{1+\sin \theta} \]
\[ a_n = \frac{\{A-2(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})\}\sin \theta}{1+\sin \theta} \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義する。
このとき，次の各間に答えよ．
(1)$\displaystyle\frac{a_2}{a_1}$を，$A$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$a_n (n \geqq 3)$を，$a_{n-1}$および$A,\ \theta$を用いて表せ．
(3)初項から第$n$項までの和$S_n = a_1+\cdots+a_n$を，$A,\ \theta$および$n$を用いて表せ．
\[ a_1 = \frac{A\sin \theta}{1+\sin \theta} \]
\[ a_n = \frac{\{A-2(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})\}\sin \theta}{1+\sin \theta} \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義する。
このとき，次の各間に答えよ．
(1)$\displaystyle\frac{a_2}{a_1}$を，$A$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$a_n (n \geqq 3)$を，$a_{n-1}$および$A,\ \theta$を用いて表せ．
(3)初項から第$n$項までの和$S_n = a_1+\cdots+a_n$を，$A,\ \theta$および$n$を用いて表せ．