Oを原点とする座標空間にある，中心C$(1,\ 1,\ \sqrt{10})$，半径$3\sqrt{3}$の球面を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S$と$x$軸の正の部分との交点をPとし，$S$と$y$軸の正の部分との交点をQとする．P，Qの座標を求めよ．
(2)2点O，Cを通る直線と$S$との交点のうち，$z$座標が正であるものをRとする．Rの座標を求めよ．
(3)四面体OPQRの体積$V$を求めよ．
(4)4点O，P，Q，Rを通る球面の半径$r_1$を求めよ．
(5)四面体OPQRに内接する球面の半径を$r_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値を求めよ．

座標平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2 \cos t,\quad y=\sqrt{3} \sin t \]
で与えられているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$と速さ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(t)=-2\cos t+\frac{d}{dt}|\overrightarrow{v}|^2$とおく．$0 \leqq t \leqq 2\pi$における$f(t)$の最大値，最小値を求め，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)(2)の関数$f(t)$について定積分$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(t)}{|\overrightarrow{v}|^2} \, dt$を求めよ．

座標平面において，点$\mathrm{C} \displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を中心とし，半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$S$とする．$S$上に点$\mathrm{N}(0,\ 1)$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{n}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表すものとする．

(1)$x$軸上に点$\mathrm{P}(x,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{NP}$と円$S$との交点のうち，$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a \overrightarrow{p}+b \overrightarrow{n}$の形で表したとき，$a,\ b$を$x$で表せ．
(2)$x$軸上に$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ 0)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ 0)$をとる．直線$\mathrm{NP}_1$と円$S$との交点のうち，$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}_1$とし，直線$\mathrm{NP}_2$と円$S$との交点のうち，$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}_2$とする．このとき，$x_1 x_2=-1$が成り立っていれば
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_1}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}_2}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立することを証明せよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルを表すものとする．

座標平面において，点C$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を中心とし，半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$S$とする．$S$上に点N$(0,\ 1)$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{n}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．ただし，Oは原点を表すものとする．

(1)$x$軸上に点P$(x,\ 0)$をとり，直線NPと円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a \overrightarrow{p}+b \overrightarrow{n}$の形で表したとき，$a,\ b$を$x$で表せ．
(2)$x$軸上に2点P$_1(x_1,\ 0)$，P$_2(x_2,\ 0)$をとる．直線NP$_1$と円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQ$_1$とし，直線NP$_2$と円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQ$_2$とする．このとき，$x_1x_2=-1$が成り立っていれば
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_1}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}_2}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立することを証明せよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルを表すものとする．

直線$\displaystyle y=\frac{5-x}{4}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{5-p}{4} \right) \ (p>1)$から曲線$C:y=1-x^2$へ2本の接線$\ell_1,\ \ell_2$を引くことができる．

(1)$\ell_1$と$C$との接点を$\mathrm{A}$，$\ell_2$と$C$との接点を$\mathrm{B}$とし，それぞれの$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．$\beta-\alpha$を$p$の式で表せ．
(2)$\angle \mathrm{APB}=\theta$とする．$\tan \theta$を$p$の式で表せ．ただし$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)点$\mathrm{P}$が$p>1$の範囲を動くとき，$\theta$が最大となるような点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$a$を0以上の実数とし，$x>-1$で定義された関数
\[ f(x)=2x^2+(1-a^2) \log (x+1) \]
について，次の各問いに答えよ．

(1)方程式$f^\prime(x)=0$が$x>-1$で異なる2つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の極小値は$\displaystyle \frac{1-2 \log 2}{2}$より大きいことを証明せよ．

2次の正方行列$A,\ B$について，次の各問いに答えよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{4}{5} & b \\
c & d
\end{array} \right)$は原点のまわりの回転移動を表し，$b>0$である．行列$A$を求めよ．
(2)行列$B$の表す移動（1次変換）に続いて行列$A$の表す移動を行うことで得られる合成移動（合成変換）は$y$軸に関する対称移動になる．行列$B$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$を満たす点$(x,\ y)$の集まりは直線となることを示せ．また，その直線を表す式を求めよ．
(4)$B \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right)$を満たす列ベクトル$\left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．また，この列ベクトルと自然数$n$に対し，$B^n \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径1の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=\frac{1}{3},\quad (1-a_{n+1})(1+2a_n)=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．

(1)すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle a_n \geqq \frac{1}{3}$であることを，数学的帰納法によって証明せよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$s,\ t$を正の実数とする．平面上の3点A，B，Cは同一線上にないものとし，さらに平面上の2点P，Qを$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}},\ \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=\frac{t}{s+t} \overrightarrow{\mathrm{BC}}$で定める．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$s,\ t,\ \overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角が$60^\circ$で$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CP}}$かつ$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=5t |\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|$であるとき，$s,\ t$の値を求めよ．