次に答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$\displaystyle \sin^2 x=\sin^2 \left( x+\frac{\pi}{3} \right)$を解け．
(2)曲線$y=\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と曲線$\displaystyle y=\sin^2 \left( x+\frac{\pi}{3} \right) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

次に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．必要ならば，$1.09<\log 3<1.10$を用いてよい．

(1)すべての$x>0$に対して，不等式
\[ x-\frac{x^2}{2} < \log (1+x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{x^2}{3}-\log (1+x)$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値，および最小値を求めよ．
(3)方程式$\displaystyle x-\frac{x^2}{3}=\log (1+x)$は$0<x<2$の範囲に解を1つだけもつことを示せ．
(4)(3)における解を$\alpha \ (0<\alpha<2)$とする．曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$と曲線$y=\log (1+x)$で囲まれた図形($0 \leqq x \leqq \alpha$の部分)の面積を$S$とする．また，曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$，$y=\log (1+x)$と直線$x=2$で囲まれた図形($\alpha \leqq x \leqq 2$の部分)の面積を$T$とする．$S$と$T$の大小を比較せよ．

次の各問いに答えよ．

(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径$1$の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{1+x^2}$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$を考える．

(1)曲線$C$と直線$\ell$との交点の座標を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸によって囲まれる図形を，$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸によって囲まれる図形を，$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．

$a,\ b$は$a<b$を満たす実数とする．放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$においてそれぞれ接線を引く．この$2$つの接線の交点を$\mathrm{P}(p,\ q)$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{4}$を満たしながらこの放物線上を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めなさい．
(3)(2)の条件の下で，この放物線と$2$つの接線で囲まれた図形の面積を$q$を用いて表しなさい．

座標平面において，点C$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を中心とし，半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$S$とする．$S$上に点N$(0,\ 1)$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{n}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．ただし，Oは原点を表すものとする．

(1)$x$軸上に点P$(x,\ 0)$をとり，直線NPと円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a \overrightarrow{p}+b \overrightarrow{n}$の形で表したとき，$a,\ b$を$x$で表せ．
(2)$x$軸上に2点P$_1(x_1,\ 0)$，P$_2(x_2,\ 0)$をとる．直線NP$_1$と円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQ$_1$とし，直線NP$_2$と円$S$との交点のうち，Nと異なるものをQ$_2$とする．このとき，$x_1x_2=-1$が成り立っていれば
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_1}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}_2}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立することを証明せよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルを表すものとする．

次の各問いに答えよ．

(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径1の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．

赤玉，白玉，青玉がそれぞれ$2$個以上入った袋がある．袋から同時に玉を$k$個取り出し，色を調べてからもとに戻す試行を$S(k)$とする．試行$S(1)$を続けて$2$回行うとき，赤玉が少なくとも$1$回出る確率が$\displaystyle \frac{5}{9}$，異なる色の玉が出る確率が$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)試行$S(1)$を$1$回行うとき，赤玉の出る確率と白玉の出る確率を求めなさい．
(2)試行$S(2)$を続けて$2$回行う．$1$回目に取り出す玉の色と$2$回目に取り出す玉の色に重複がない確率が$\displaystyle \frac{1}{6}$であるとき，赤玉，白玉，青玉それぞれの個数を求めなさい．

関数$f(x)=3 \sin x+4 \cos x$について，次の問に答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．

(1)$f(x)=r \sin (x+\alpha)$と変形したとき，$r$の値と$\cos \alpha,\ \sin \alpha$の値を求めよ．ただし，$r>0,\ -\pi<\alpha \leqq \pi$とする．
(2)$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．
(3)(1)の$r$と$\alpha$に対し，$\displaystyle f(x) \geqq \frac{r}{2}$となる$x$の範囲を$\alpha$を用いて表せ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．
\[ S_n=1-(2n^2+n-1)a_n \quad (n \geqq 1) \]
が成り立つとき，次の問に答えよ．

(1)$n \geqq 2$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{20}\frac{1}{a_n}$を求めよ．