$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．点Oを中心とする円周上に反時計回りに並んだ5点A，B，C，D，Eがあり，$\angle \text{AOB},\ \angle \text{BOC},\ \angle \text{COD},\ \angle \text{DOE}$はすべて$\theta$に等しい．$\alpha=2\pi-4\theta,\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ t=\cos \theta$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立つとき，$\alpha$は$\theta$に等しいことを示せ．

$xy$平面における原点Oと点A$(3,\ 2)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)傾きが$\displaystyle \frac{4}{3}$で，点Aを通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた直線$\ell$の点Aにおける法線を$m$とする．直線$m$の方程式を求めよ．
(3)(1)で求めた直線$\ell$と$x$軸との交点をB，(2)で求めた直線$m$と$y$軸との交点をCとする．図形OBACを$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

$a,\ b$を$a>b>0$を満たす定数とし，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a_1=a, a_{n+1}=a_n^2+b_n^2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_1=b, b_{n+1}=2a_nb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
で定義される数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)数列$\{c_n\}$を$c_n=a_n+b_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$により定義するとき，その一般項$c_n$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項$a_n,\ b_n$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}$が存在するかどうかを調べ，存在する場合はその値を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$が収束するとき，$a+b<1$が成り立つことを証明せよ．

座標平面上で，直線$\ell:y=mx$に関する対称移動によって，点P$(x,\ y)$が点Q$(x^\prime,\ y^\prime)$に移ったとする．ただし，$m$は0でない定数とし，点Pは$\ell$上にないとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)線分PQの中点が$\ell$上にあることと，線分PQが$\ell$と垂直に交わっていることを利用して
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=\frac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc}
1-m^2 & 2m \\
2m & m^2-1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$に関する対称移動を表す1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする．このとき，合成変換$g \circ f$および$f \circ g$を表す行列を求めよ．
(3)(2)で求めた2つの行列は，原点Oを中心とし，角$\theta$だけ回転する1次変換を表す行列である．それぞれの$\theta$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$と$x \leqq y$の両方をみたす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(3)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(4)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(5)等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} (x+a) \cos 2x \, dx=\frac{\pi}{8}$が成り立つとき，定数$a$の値を求めよ．

2つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$は，すべての自然数$n$について
\[ a_{n+1}=\frac{a_n}{1-b_n^{\ 2}},\quad b_{n+1}=a_{n+1}b_n \]
をみたしているとする．

(1)初項が$\displaystyle a_1=b_1=\frac{1}{2}$であるとする．

\mon[(i)] $a_2,\ b_2,\ a_3,\ b_3$を求めよ．
\mon[(ii)] $a_n,\ b_n$を表す$n$の式を推定し，それらの推定が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．

(2)初項が$\displaystyle a_1=\frac{1}{2010},\ b_1=\frac{2009}{2010}$であるとする．

\mon[(i)] $a_{n+1}+b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$で表せ．
\mon[(ii)] $a_n+b_n$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle 2 \sin k\theta \sin \frac{\theta}{2}=\cos \left( k-\frac{1}{2} \right) \theta - \cos \left( k+\frac{1}{2} \right) \theta$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \sin k\theta$を求めよ．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

平面上に半径1の円$C$がある．この円に外接し，さらに隣り合う2つが互いに外接するように，同じ大きさの$n$個の円を図（例1）のように配置し，その一つの円の半径を$R_n$とする．また，円$C$に内接し，さらに隣り合う2つが互いに外接するように，同じ大きさの$n$個の円を図（例2）のように配置し，その一つの円の半径を$r_n$とする．ただし，$n \geqq 3$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$R_6,\ r_6$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2(R_n-r_n)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1$を用いてよい．

\setlength\unitlength{1truecm}

\scalebox{1.5}{
（図は省略）
}