原点を中心とする半径1の円を$C_1$とし，原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_2$とする．$C_1$上に点P$_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$があり，また，$C_2$上に点P$_2 \displaystyle (\frac{1}{2} \cos 3\theta,\ \frac{1}{2} \sin 3\theta)$がある．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$であるとする．線分P$_1$P$_2$の中点をQとし，点Qの原点からの距離を$r(\theta)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Qの$x$座標の取りうる範囲を求めよ．
(2)点Qが$y$軸上にあるときの$\theta$の値を$\alpha$とする．このとき，$\alpha$および定積分
\[ \int_0^\alpha \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．

$a$を$a>1$を満たす定数とする．原点Oと点P$(1,\ 0)$を線分で結び，点Pと点Q$(a,\ \log a)$を曲線$y=\log x$で結ぶ．このようにして得られる曲線OPQを，$y$軸の周りに1回転させてできる立体の容器を考える．ただし，OPを含む部分を底面として，水平に置くものとする．次の問いに答えよ．

(1)この容器の容積$V$を$a$を用いて表せ．
(2)$m$を正の定数とする．この容器に，単位時間あたり$m$の水を一定の割合で注ぎ入れる．ただし，最初は水が全く入っていない状態とする．注ぎ始めてから時間$\displaystyle t \ \left( 0<t<\frac{V}{m} \right)$が経過したとき，底面から水面までの高さを$h$，水面の上昇する速度を$v$とする．$h$および$v$を$m,\ t$を用いて表せ．

表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$1-p$のコインがある．このコインを投げ，その結果により，駒が2点A，Bの間を移動し，ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う．

ルールa) \ 駒はゲームを始めるとき，点Aにいる．
ルールb) \ 駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．
ルールc) \ $k$回目のコイン投げの結果，駒が点Aにいるときは$2^k$ポイント新たに獲得し，点Bにいるときは1ポイント新たに獲得する．($k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)

$n$を自然数とし，$n$回コインを投げた結果，駒が点Aにいる確率を$a_n$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．さらに，$a_{n+1}$を$a_n$と$p$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(3)$k$回目のコイン投げの結果により新たに獲得するポイントの期待値を$E_k$とおく．$\displaystyle p=\frac{3}{4}$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n E_k$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$p$を0でない定数とする．関数$f(x)=ae^{-x}\sin px+be^{-x}\cos px$について，$f^\prime(x)=e^{-x}\sin px$となるように，定数$a,\ b$を定めよ．
(2)$\displaystyle S(t)=\int_0^{t^2}e^{-x} \sin \frac{x}{t} \, dx \ (t \neq 0)$とおく．このとき，$S(t)$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{S(t)}{t^3}$の値を求めよ．

$a,\ b,\ c$を相異なる正の実数とするとき，以下の各問いに答えよ．

(1)次の$2$数の大小を比較せよ．
\[ a^3+b^3,\ a^2b+b^2a \]
(2)次の$4$数の大小を比較し，小さい方から順に並べよ．
\begin{eqnarray}
& & (a+b+c)(a^2+b^2+c^2),\quad (a+b+c)(ab+bc+ca), \nonumber \\
& & 3(a^3+b^3+c^3),\quad 9abc \nonumber
\end{eqnarray}
(3)$x,\ y,\ z$を正の実数とするとき
\[ \frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z} \]
のとりうる値の範囲を求めよ．

定積分
\[ I_n=\int_1^{\sqrt{e}} (\log x)^n \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
について，次の各問に答えよ．

(1)$I_1$の値を求めよ．
(2)等式
\[ I_{n+1}=\sqrt{e} \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}-(n+1)I_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．
(3)すべての自然数$n$について，等式
\[ I_n=(-1)^{n-1}n!+\sqrt{e}\sum_{m=0}^n (-1)^{n-m}\frac{n!}{m!}\left( \frac{1}{2} \right)^m \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$0!=1$とする．

定積分
\[ I_n=\int_1^{\sqrt{e}} (\log x)^n \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
について，次の各問に答えよ．

(1)$I_1$の値を求めよ．
(2)等式
\[ I_{n+1}=\sqrt{e} \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}-(n+1)I_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．
(3)すべての自然数$n$について，等式
\[ I_n=(-1)^{n-1}n!+\sqrt{e}\sum_{m=0}^n (-1)^{n-m}\frac{n!}{m!}\left( \frac{1}{2} \right)^m \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$0!=1$とする．

座標空間において，$8$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{D}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{E}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{F}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{G}(1,\ 1,\ 1)$をとり，この$8$点を頂点とする立方体を$Q$とする．また点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$と正の実数$t$に対し，$6$点$(x+t,\ y,\ z)$，$(x-t,\ y,\ z)$，$(x,\ y+t,\ z)$，$(x,\ y-t,\ z)$，$(x,\ y,\ z+t)$，$(x,\ y,\ z-t)$を頂点とする正八面体を$\alpha_t(\mathrm{P})$，その外部の領域を$\beta_t(\mathrm{P})$で表す．ただし，立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$0 < t \leqq 1$のとき，$Q$と$\alpha_t(\mathrm{O})$の共通部分$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O})$の体積を$t$で表せ．
(2)$Q \cap \beta_1(\mathrm{O}) \cap \beta_1(\mathrm{D}) \cap \beta_1(\mathrm{E}) \cap \beta_1(\mathrm{F})$の体積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{2} < t \leqq 1$のとき，$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O}) \cap \alpha_t(\mathrm{A})$の体積を$t$で表せ．
(4)$t$が$0<t \leqq 1$の範囲で変化するとき，$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O}) \cap \beta_t(\mathrm{A}) \cap \beta_t(\mathrm{B}) \cap \beta_t(\mathrm{C})$の体積が最大となる$t$の値を求めよ．

下図の$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=3:4$とする．また，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．さらに，

線分$\mathrm{AD}$を$5:3$に内分する点を$\mathrm{E}$，
線分$\mathrm{ED}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，
線分$\mathrm{AC}$を$7:5$に内分する点を$\mathrm{G}$

とする．\\
\quad 直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HC}}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{BH} \para \mathrm{FG}$であることを示せ．
(3)$\mathrm{FG}=7$のとき，線分$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．

関数$y=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x+2\sin x-2\sqrt{3}\cos x$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\sin x-\sqrt{3}\cos x=t$とおいて，$y$を$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}\pi$のとき，$y$の最大値および最小値を求めよ．