「分数」について
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国立 奈良女子大学 2010年 第3問曲線$y=2x \sin x \cos x$を$C_1$とし，曲線$y=x \cos x$を$C_2$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$において，$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標をすべて求めよ．
(2)(1)で求めた$x$座標の中で最大の値を$a$とする．区間$[\,0,\ a \,]$において，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$において，$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標をすべて求めよ．
(2)(1)で求めた$x$座標の中で最大の値を$a$とする．区間$[\,0,\ a \,]$において，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 香川大学 2010年 第2問数列$\{a_n\}$を初項1，公差$\displaystyle \frac{2}{7}$の等差数列とするとき，次の問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$および初項から第$n$項までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$を用いて表せ．
(2)実数$x$に対して，$m \leqq x$をみたす最大の整数$m$を$[\,x\,]$で表す．数列$\{b_n\}$を$b_n=[\,a_n\,]$で定めるとき，$b_7,\ b_{14},\ b_{15}$を求めよ．
(3)(2)で定めた数列$\{b_n\}$について，$b_{100}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} b_k$を求めよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$および初項から第$n$項までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$を用いて表せ．
(2)実数$x$に対して，$m \leqq x$をみたす最大の整数$m$を$[\,x\,]$で表す．数列$\{b_n\}$を$b_n=[\,a_n\,]$で定めるとき，$b_7,\ b_{14},\ b_{15}$を求めよ．
(3)(2)で定めた数列$\{b_n\}$について，$b_{100}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} b_k$を求めよ．
国立 香川大学 2010年 第2問数列$\{a_n\}$を初項1，公差$\displaystyle \frac{2}{7}$の等差数列とするとき，次の問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$および初項から第$n$項までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$を用いて表せ．
(2)実数$x$に対して，$m \leqq x$をみたす最大の整数$m$を$[\,x\,]$で表す．数列$\{b_n\}$を$b_n=[\,a_n\,]$で定めるとき，$b_7,\ b_{14},\ b_{15}$を求めよ．
(3)(2)で定めた数列$\{b_n\}$について，$b_{100}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} b_k$を求めよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$および初項から第$n$項までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$を用いて表せ．
(2)実数$x$に対して，$m \leqq x$をみたす最大の整数$m$を$[\,x\,]$で表す．数列$\{b_n\}$を$b_n=[\,a_n\,]$で定めるとき，$b_7,\ b_{14},\ b_{15}$を求めよ．
(3)(2)で定めた数列$\{b_n\}$について，$b_{100}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} b_k$を求めよ．
国立 島根大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{x^2-1}-x \right)$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{x^3}{x^2-1}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$x^3-kx^2+k=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{x^2-1}-x \right)$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{x^3}{x^2-1}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$x^3-kx^2+k=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
国立 富山大学 2010年 第2問曲線$\displaystyle C_1:y=\sin 2x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形が，曲線$\displaystyle C_2:y= k\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\ k \text{は正の定数} \right)$によって2つの部分に分割されているとする．そのうちの，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$と$C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．
(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．
国立 富山大学 2010年 第3問$\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}} \ (x>0)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．
(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．
国立 富山大学 2010年 第1問$\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}} \ (x>0)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．
(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．
国立 富山大学 2010年 第2問$0 \leqq t \leqq 1$をみたす$t$に対し，$\sin x=t$となる$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$x$を$f(t)$と表すことにする．さらに，$t$の関数$g(t)$を
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．
国立 富山大学 2010年 第2問$\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}} \ (x>0)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．
(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．
国立 富山大学 2010年 第3問$0 \leqq t \leqq 1$をみたす$t$に対し，$\sin x=t$となる$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$x$を$f(t)$と表すことにする．さらに，$t$の関数$g(t)$を
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．