$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で関数$f(x)=\cos x \sin^2 x$と$g(x)=\cos^3 x$を考える．次の問に答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．ただし，$f(x)$が極値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる図形の面積を求めよ．

次の2つの曲線の両方に接する傾きが正の直線$\ell$が原点を通っているとする．
\begin{eqnarray}
& & y = mx^2+a \quad (m > 0,\ a > 0) \nonumber \\
& & y = nx^2+b \quad (n < 0,\ b < 0) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．

(1)$m,\ n,\ a,\ b$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)曲線$y = mx^2+a$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，曲線$y = nx^2+b$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を$a,\ b$で表せ．

実数$a,\ b$は等式
\[ x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1) \]
を満たすものとする．次の問に答えよ．

(1)$a+b,\ ab$を求めよ．
(2)複素数$\alpha$が2次方程式$x^2+ax+1=0$の解ならば，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}$もこの方程式の解であることを示せ．
(3)2次方程式$x^2+bx+1=0$の解は，(2)の$\alpha$を用いて$\displaystyle \alpha^2,\ \frac{1}{\alpha^2}$と表されることを示せ．

$n$を$0$以上の整数とする．立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の頂点を，以下のように移動する$2$つの動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．時刻$0$には$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に位置し，$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{C}$に位置している．時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置していれば，時刻$n+1$には，$\mathrm{P}$は時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移り，$\mathrm{Q}$も時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移る．一方，時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ頂点に位置していれば，時刻$n+1$には$\mathrm{P}$も$\mathrm{Q}$も時刻$n$の位置からは移動しない．

(1)時刻$1$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置するとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$はどの頂点にあるか．可能な組み合わせをすべて挙げよ．
(2)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置する確率$r_n$を求めよ．
(3)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がともに上面$\mathrm{ABCD}$の異なる頂点に位置するか，またはともに下面$\mathrm{EFGH}$の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を$p_n$とする．また， 時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のいずれか一方が上面$\mathrm{ABCD}$，他方が下面$\mathrm{EFGH}$にある確率を$q_n$とする．$p_{n+1}$を，$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ．
（図は省略）

関数$f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\sin \pi x \phantom{0} \ (0 \leqq x \leqq 1) \\
0 \phantom{\sin \pi x} \ (x<0,\ x>1)
\end{array}
\right.$を用いて，すべての実数$t$に対して，関数$\displaystyle g(t)=\int_0^1 f \left( \frac{t}{3} -x \right)\, dx$を定義する．このとき，$g(t)$と定積分$\displaystyle \int_{-1}^1 g(t) \, dt$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x+1}{|x|}$について，次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，$y=f(x)$の極値と漸近線を求め，グラフの概形をかけ．
(2)$x<0$のとき，$y=f(x)$の極値と漸近線を求め，グラフの概形をかけ．

次の極限値を求めよ．

(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log \left( 1+\frac{k}{n} \right)$
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sin \frac{k}{n} \pi$

整数$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，
\begin{eqnarray}
& & a_n = \int_n^{n+1} \{xe^{-x}-(n+1)e^{-n-1}(x-n) \} \, dx \nonumber \\
& & b_n = \int_n^{n+1} \{xe^{-x}-(n+1)e^{-n-1} \} \, dx \nonumber
\end{eqnarray}
とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$a_0,\ b_0$を求めよ．
(2)$c_n=a_n-b_n$で定める数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n c_k$であるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{e^n}=0$を用いてよい．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の点$\mathrm{P}_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の座標を$(x_n,\ y_n)$とする．行列$\left( \begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$で表される移動により，点$\mathrm{P}_n$が点$\mathrm{P}_{n+1}$に移るとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_{n+1}$の座標を，$x_n,\ y_n$を用いて表せ．
(2)$(x_1,\ y_1)=(2,\ 1)$とする．すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，
\[ (x_n,\ y_n) = \left(2\sin \frac{n\pi}{2},\ \sin \frac{n\pi}{2}+\cos \frac{n\pi}{2} \right) \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{2}=1.41421,\ \sqrt{3}=1.73205,\ \sqrt{6}=2.44949$として$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$の値を，小数第5位以下を切り捨てて，小数第4位まで求めよ．
(2)2次方程式$x^2-4mx+m+3=0$が重解をもつとき，$m$の値を求めよ．
(3)$\triangle$ABCにおいて，$\text{AB}=5,\ \text{BC}=7,\ \text{CA}=8$であるとき，$\angle \text{BAC}$の大きさを求めよ．