「分数」について
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国立 埼玉大学 2010年 第2問数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$を次のように定める．
\begin{itemize}
$a_1=1$とする．
$\displaystyle a_n \geqq \frac{5}{4}(n+1)$であれば，$a_{n+1}=a_n-1$とする．
$\displaystyle a_n < \frac{5}{4}(n+1)$であれば，$a_{n+1}=a_n+2$とする．
\end{itemize}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_6$を求めよ．
(2)$a_{4m-1}=5m \ (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(3)$a_n > 2010$となる最小の$n$を求めよ．
\begin{itemize}
$a_1=1$とする．
$\displaystyle a_n \geqq \frac{5}{4}(n+1)$であれば，$a_{n+1}=a_n-1$とする．
$\displaystyle a_n < \frac{5}{4}(n+1)$であれば，$a_{n+1}=a_n+2$とする．
\end{itemize}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_6$を求めよ．
(2)$a_{4m-1}=5m \ (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(3)$a_n > 2010$となる最小の$n$を求めよ．
国立 埼玉大学 2010年 第3問$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，関数
\[ f(x) = \frac{\sin x}{9+16 \sin^2 x} \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とするとき，定積分
\[ \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \]
を求めよ．
\[ f(x) = \frac{\sin x}{9+16 \sin^2 x} \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とするとき，定積分
\[ \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \]
を求めよ．
国立 埼玉大学 2010年 第3問$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，関数
\[ f(x) = \frac{\sin x}{9+16 \sin^2 x} \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とするとき，定積分
\[ \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \]
を求めよ．
\[ f(x) = \frac{\sin x}{9+16 \sin^2 x} \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とするとき，定積分
\[ \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \]
を求めよ．
国立 埼玉大学 2010年 第4問放物線$\displaystyle C:y=\frac{x^2}{2}$を考える．$0<a<\sqrt{2}$を満たす定数$a$に対して，点$\displaystyle \left(a^3,\ \frac{3a^2}{2}+1 \right)$をPで表す．
(1)点Pと$C$上の点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$との距離が最小となる$t$を$a$を用いて表せ．
(2)(1)で求めた$t$に対して，点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$をQとおく．点Qにおける$C$の接線と，直線PQは直交することを示せ．
(3)点Pと点Qとの距離が最大となるように$a$を定めよ．
(1)点Pと$C$上の点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$との距離が最小となる$t$を$a$を用いて表せ．
(2)(1)で求めた$t$に対して，点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$をQとおく．点Qにおける$C$の接線と，直線PQは直交することを示せ．
(3)点Pと点Qとの距離が最大となるように$a$を定めよ．
国立 広島大学 2010年 第1問$k$は定数で，$k > 0$とする．曲線$C : y = kx^2 \ (x \geqq 0)$と2つの直線$\displaystyle \ell : y = kx+\frac{1}{k},\ m : y = -kx+\frac{1}{k}$との交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (0 < \beta < \alpha)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\alpha-\beta$の値を求めよ．
(2)$\alpha \beta,\ \alpha^2+ \beta^2$および$\alpha^3- \beta^3$を$k$を用いて表せ．
(3)曲線$C$と2直線$\ell,\ m$とで囲まれた部分の面積を最小にする$k$の値を求めよ．また，そのときの面積を求めよ．
(1)$\alpha-\beta$の値を求めよ．
(2)$\alpha \beta,\ \alpha^2+ \beta^2$および$\alpha^3- \beta^3$を$k$を用いて表せ．
(3)曲線$C$と2直線$\ell,\ m$とで囲まれた部分の面積を最小にする$k$の値を求めよ．また，そのときの面積を求めよ．
国立 広島大学 2010年 第2問座標平面上に点O$(0,\ 0)$と点P$(4,\ 3)$をとる．不等式$(x-5)^2 +(y-10)^2 \leqq 16$の表す領域を$D$とする．次の問いに答えよ．
(1)$k$は定数とする．直線$\displaystyle y = -\frac{4}{3}x+k$上の点をQとするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$k$を用いて表せ．
(2)点Rが$D$全体を動くとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}$の最大値および最小値を求めよ．
(1)$k$は定数とする．直線$\displaystyle y = -\frac{4}{3}x+k$上の点をQとするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$k$を用いて表せ．
(2)点Rが$D$全体を動くとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}$の最大値および最小値を求めよ．
国立 九州大学 2010年 第3問$xy$平面上に曲線$\displaystyle y =\frac{1}{x^2}$を描き，この曲線の第1象限内の部分を$C_1$，第2象限内の部分を$C_2$と呼ぶ．$C_1$上の点P$_1 \displaystyle \left( a,\ \frac{1}{a^2} \right)$から$C_2$に向けて接線を引き，$C_2$との接点をQ$_1$とする．次に点Q$_1$から$C_1$に向けて接線を引き，$C_1$との接点をP$_2$とする．次に点P$_2$から$C_2$に向けて接線を引き，接点をQ$_2$とする．以下同様に続けて，C$_1$上の点列P$_n$と$C_2$上の点列Q$_n$を定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Q$_1$の座標を求めよ．
(2)三角形P$_1$Q$_1$P$_2$の面積$S_1$を求めよ．
(3)三角形P$_n$Q$_n$P$_{n+1} \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の面積$S_n$を求めよ．
(4)級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} S_n$の和を求めよ．
(1)点Q$_1$の座標を求めよ．
(2)三角形P$_1$Q$_1$P$_2$の面積$S_1$を求めよ．
(3)三角形P$_n$Q$_n$P$_{n+1} \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の面積$S_n$を求めよ．
(4)級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} S_n$の和を求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 1),\ \overrightarrow{b}=(3,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$が垂直になるように，実数$t$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+k}-3}{x-3}$が有限な値になるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．
(3)$1$個のサイコロを投げて，出る目の数を$a$とする．このとき，楕円$3x^2+y^2=12$と直線$x-y+a=0$の共有点の個数の期待値を求めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 1),\ \overrightarrow{b}=(3,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$が垂直になるように，実数$t$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+k}-3}{x-3}$が有限な値になるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．
(3)$1$個のサイコロを投げて，出る目の数を$a$とする．このとき，楕円$3x^2+y^2=12$と直線$x-y+a=0$の共有点の個数の期待値を求めよ．
国立 弘前大学 2010年 第2問数列$\{a_n\}$が
\[ a_1 = 4, a_{n+1} = \frac{4a_n +3}{a_n +2} \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle b_n = \frac{a_n-3}{a_n +1}$とおくとき，数列$\{b_n\}$の漸化式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1 = 4, a_{n+1} = \frac{4a_n +3}{a_n +2} \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle b_n = \frac{a_n-3}{a_n +1}$とおくとき，数列$\{b_n\}$の漸化式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 弘前大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$a$を定数とする．関数$y = a(x - \sin 2x) \ (-\pi \leqq x \leqq \pi)$の最大値が2であるような$a$の値を定めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^3 \frac{\log (x+1)}{x^2} \, dx$を求めよ．
(1)$a$を定数とする．関数$y = a(x - \sin 2x) \ (-\pi \leqq x \leqq \pi)$の最大値が2であるような$a$の値を定めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^3 \frac{\log (x+1)}{x^2} \, dx$を求めよ．