$\ell,\ m,\ n$を3以上の整数とする．等式
\[ \left( \frac{n}{m} - \frac{n}{2}+1 \right)\ell=2 \]
を満たす$\ell,\ m,\ n$の組をすべて求めよ．

曲線$C : y = -x^2-1$を考える．

(1)$t$が実数全体を動くとき，曲線$C$上の点$(t,\ -t^2-1)$を頂点とする放物線
\[ y =\frac{3}{4}(x-t)^2-t^2-1 \]
が通過する領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)$D$を(1)で求めた領域の境界とする．$D$が$x$軸の正の部分と交わる点を$(a,\ 0)$とし，$x = a$での$C$の接線を$\ell$とする．$D$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 1$に対して
\[ f(x)=\int_0^1 e^{-|t-x|}t(1-t) \, dt \]
と定める．ただし，$e=2.718 \cdots$は自然対数の底である．

(1)不定積分$\displaystyle I_1=\int te^t \, dt,\ I_2=\int t^2e^t \, dt$を求めよ．
(2)$f(x)$を$x$の指数関数と多項式を用いて表せ．
(3)$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大となることを示せ．

直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \angle \mathrm{C}=\frac{\pi}{2},\ \mathrm{AB}=1$であるとする．$\angle \mathrm{B}=\theta$とおく．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{CD}$を下ろし，点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{DE}$を下ろす．$\mathrm{AE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}}$を$\theta$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{FEC}$の面積を$\theta$で表せ．

$0<t<3$のとき，連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
0 \leqq y \leqq \sin x \\
0 \leqq x \leqq t-y
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積を$V(t)$とする．$\displaystyle \frac{d}{dt}V(t)=\frac{\pi}{4}$となる$t$と，そのときの$V(t)$の値を求めよ．

$\triangle$ABCの辺BC上に点D，辺AC上に点Eがあり，四角形ABDEが円Oに内接している．$\displaystyle \text{AE} = \text{DE},\ \text{AB} = \frac{42}{5},\ \text{AC} = 14,\ \text{BD} = \frac{6}{5}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)線分AEと線分CDの長さを求めよ．
(2)円Oの半径を求めよ．

$a>0$とする．放物線$\displaystyle C : y = \frac{a}{2}x^2$上の点P$\displaystyle \left(1,\ \frac{a}{2} \right)$を通り，Pを通る接線に直交する直線を$\ell$，$y$軸と$\ell$との交点をQとするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)線分PQ，$y$軸および放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$の値を最小にする$a$の値を求めよ．
(3)直線$\ell$，$y$軸，直線$x = -1$および放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2 = 2S_1$となる$a$の値を求めよ．

連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．

連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0,\ x \neq 1$とする．方程式$\log_2 x+2\log_x 2=3$を解け．
(2)$x>0,\ x \neq 2,\ y>0$とする．次の連立方程式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\log_{\frac{x}{2}}y=2 \\
xy=16
\end{array}
\right. \]
(3)$x>0,\ x \neq 2,\ y>0$とする．次の連立方程式の表す領域を図示せよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\log_{\frac{x}{2}}y<2 \\
xy<16
\end{array}
\right. \]