$\log x$は$x$の自然対数であり，自然対数の底$e$の値は$2.718\cdots\cdots$である．$f_0(x)=1$とし，自然数$n$に対して$f_n(x)=(\log x)^n$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f_n(x)=x$が異なる3つの実数解をもつときの$n$をすべて求めよ．必要ならば，すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^n}{x}=0$であることを用いてもよい．
(2)$\displaystyle a_0=\int_1^e f_0(x) \, dx$とし，$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\int_1^e f_n(x) \, dx$とする．自然数$n$に対して$a_{n-1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(3)(2)の関係式を用いて，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!}$を求めよ．

$0 < \theta < \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする．2つの曲線
\[ C_1:x^2+3y^2=3, \quad C_2:\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} =2 \]
の交点のうち，$x$座標と$y$座標がともに正であるものをPとする．Pにおける$C_1,\ C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし，$y$軸と$\ell_1,\ \ell_2$の交点をそれぞれQ，Rとする．$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，線分QRの長さの最小値を求めよ．

$a$を実数とする．関数$\displaystyle f(x) = ax+ \cos x+ \frac{1}{2} \sin 2x$が極値をもたないように，$a$の値の範囲を定めよ．

$\displaystyle f(x) =\frac{\log x}{x},\ g(x) = \frac{2 \log x}{x^2} \ (x > 0)$とする．以下の問に答えよ．ただし，自然
対数の底$e$について，$e=2.718 \cdots$であること，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$であることを証明なしで用いてよい．

(1)2曲線$y = f(x)$と$y = g(x)$の共有点の座標をすべて求めよ．
(2)区間$x>0$において，関数$y = f(x)$と$y = g(x)$の増減，極値を調べ，2曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフの概形をかけ．グラフの変曲点は求めなくてよい．
(3)区間$1 \leqq x \leqq e$において，2曲線$y = f(x)$と$y = g(x)$，および直線$x = e$で囲まれた図形の面積を求めよ．

空間内に4点O，A，B，Cがあり，
\[ \text{OA} = 3,\ \text{OB} = \text{OC} = 4,\ \angle \text{BOC} = \angle \text{COA} = \angle \text{AOB} = \frac{\pi}{3} \]
であるとする．3点A，B，Cを通る平面に垂線OHをおろす．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$と表すとき，$r,\ s,\ t$を求めよ．
(2)直線CHと直線ABの交点をDとするとき，長さの比$\text{CH}:\text{HD},\ \text{AD}:\text{DB}$をそれぞれ求めよ

$f(x) = x^3$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq a < x < y$を満たすすべての$a,\ x,\ y$に対して
\[ \frac{f(x)- f(a)}{x-a} < \frac{f(y)- f(x)}{y-x} \]
が成り立つことを示せ．
(2)$y < x < b$を満たすすべての$x,\ y$に対して
\[ f(x) > \frac{(x-y)f(b) + (b-x)f(y)}{b-y} \]
が成り立つような$b$の範囲を求めよ．

正の実数$r$と$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$の範囲の実数$\theta$に対して
\[ a_0 = r \cos \theta,\quad b_0 = r \]
とおく．$a_n,\ b_n \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を漸化式
\[ a_n = \frac{a_{n-1} +b_{n-1}}{2},\quad b_n = \sqrt{a_nb_{n-1}} \]
により定める．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{a_1}{b_1},\ \frac{a_2}{b_2}$を$\theta$で表せ．
(2)$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$を$n$と$\theta$で表せ．
(3)$\theta \neq 0$のとき
\[ \lim_{n \to \infty} a_n= \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{r\sin \theta}{\theta} \]
を示せ．

$f(x) = x^3 +3x^2 -9x$とする．$y < x < a$を満たすすべての$x,\ y$に対して
\[ f(x) > \frac{(x−y)f(a) + (a-x)f(y)}{a−y} \]
が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

$\displaystyle a_n = \frac{1}{n(n+1)}$を第$n$項とする数列を，次のように奇数個ずつの群に分ける．
\begin{eqnarray}
& & \{a_1\},\quad \{a_2,\ a_3,\ a_4 \},\quad \{a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8,\ a_9\},\ \cdots \quad \nonumber \\
& & \text{第$1$群} \qquad \ \text{第$2$群} \qquad \qquad \quad \ \text{第$3$群} \nonumber
\end{eqnarray}
$k$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)第$k$群の最初の項を求めよ．
(2)第$k$群に含まれるすべての項の和$S_k$を求めよ．
(3)$\displaystyle (k^2+1)S_k \leqq \frac{1}{100}$を満たす最小の自然数$k$を求めよ．

座標平面において，点P$_n(a_n,\ b_n) \ (n \geqq 1)$を
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{c}
a_1 \\
b_1
\end{array}
\right) &=& \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}
\right) \nonumber \\
\left(
\begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array}
\right) &=& \frac{1}{2} \left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
a_{n-1} \\
b_{n-1}
\end{array}
\right) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{eqnarray}
で定める．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$a_n,\ b_n$を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，自然数$n$に対して，線分P$_n$P$_{n+1}$の長さ$l_n$を求めよ．
(3)(2)で求めた$l_n$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$を求めよ．