$0$以上の任意の整数$i$に対して，$x$の$i$次式$g_i(x)$を$i=0$のとき$g_0(x)=1$，$i \geqq 1$のとき$\displaystyle g_i(x)=\frac{x(x+1) \cdots (x+i-1)}{i!}$と定義する．

(1)$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$（但し$a_n \neq 0$）を$x$に関する実数係数の$n (\geqq 0)$次式とする．このとき，等式$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^n c_i \, g_i(x)$が任意の実数$x$について成り立つような実数$c_i$（$0 \leqq i \leqq n$，但し$c_n \neq 0$）が一意的に存在することを証明せよ．
(2)$(1)$において，$n>0$のとき等式$\displaystyle f(x)-f(x-1)=\sum_{i=1}^n c_i \, g_{i-1}(x)$が成り立つことを証明せよ．
(3)$F(x) (\neq 0)$を$x$に関する実数係数の$n (\geqq 0)$次式とし，任意の整数$a$に対して$F(a)$が整数であると仮定する．このとき，等式$\displaystyle F(x)=\sum_{i=0}^n d_i \, g_i(x)$が任意の実数$x$について成り立つような整数$d_i$（$0 \leqq i \leqq n$，但し$d_n \neq 0$）が一意的に存在することを証明せよ．

$t>0$とする．平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$は$(2-t) \overrightarrow{\mathrm{PO}}+2(1-t) \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3t \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}$を$t$を用いて表せ．

(2)線分$\mathrm{OC}$が$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線となるとき，$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{AB}$を$a:b$に内分する点であることを示せ．
(3)$(2)$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a,\ b$を用いて表せ．

$n$を$5$以上の整数とする．座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円$C_1$と，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．$C_2$が$C_1$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，$C_2$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を考える．はじめに$\mathrm{A}$は$(n+1,\ 0)$，$\mathrm{P}$は$(n,\ 0)$の位置にあるものとする．$\mathrm{P}$が$(n,\ 0)$から出発し，再び$(n,\ 0)$に戻るまで，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分のなす角が$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$であるときの$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ．
(3)$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を正の実数とする．座標平面において曲線$y=\sin x\ (0 \leqq x \leqq \pi)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S$とし，曲線$\displaystyle y=\sin x\ (0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2})$，曲線$\displaystyle y=a\cos x\ (0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2})$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$T$とする．このとき$S:T=3:1$となるような$a$の値を求めよ．

$a$を正の実数とする．座標平面において曲線$y= \sin x\ (0 \leqq x \leqq \pi)と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S$とし，$曲線$y=\sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$，曲線$y=a\cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$T$とする．このとき$S:T=3:1$となるような$a$の値を求めよ．

$n$個のボールを2$n$個の箱へ投げ入れる．各ボールはいずれかの箱に入るものとし，どの箱に入る確率も等しいとする．どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率を$p_n$とする．このとき，極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{\log p_n}{n}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$k$に対して，次の不等式を示せ．
\[ \frac{1}{2(k+1)}< \int_0^1 \frac{1-x}{k+x}\, dx < \frac{1}{2k} \]
(2)$m>n$であるようなすべての自然数$m$と$n$に対して，次の不等式を示せ．
\[ \frac{m-n}{2(m+1)(n+1)} < \log \frac{m}{n} -\sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k} < \frac{m-n}{2mn} \]

$2$つの箱LとR，ボール$30$個，コイン投げで表と裏が等確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るコイン1枚を用意する．$x$を$0$以上$30$以下の整数とする．Lに$x$個，Rに$30-x$個のボールを入れ，次の操作$(\sharp)$を繰り返す．

\mon[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．

$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が$30$である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)，(3)に答えよ．

(1)$m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．
(3)$n$を自然数とするとき，$P_{4n}(6)$を求めよ．

$a>1$を定数とする．3つの放物線$\displaystyle y=x^2,\ y=\frac{1}{2}x^2,\ y=ax^2$の$x \geqq 0$の部分をそれぞれ，$C,\ C_1,\ C_2$とする．$C$上の点Pから$x$軸に下ろした垂線と2曲線$C,\ C_1$で囲まれた領域を$D_1$とする．Pから$y$軸に下ろした垂線と2曲線$C,\ C_2$で囲まれた領域を$D_2$とする．

(1)領域$D_1,\ D_2$の面積をそれぞれ$S_1,\ S_2$とする．点Pのとり方によらず常に$S_1=S_2$となるような$a$の値を求めよ．
(2)領域$D_1,\ D_2$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とする．点Pのとり方によらず常に$V_1=V_2$となるような$a$の値を求めよ．

$xy$平面上の四角形OABCにおいて，対角線OBを考え，$\angle \text{AOB}$の二等分線と$\angle \text{OAB}$の二等分線の交点をI，$\angle \text{BOC}$の二等分線と$\angle \text{OCB}$の二等分線の交点を$\text{I}^\prime$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b,\ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=p$とするとき，これらを用いて$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を表せ．
(2)4点O，A，B，CをO$(0,\ 0)$, A$(1,\ 1)$, B$\displaystyle (\frac{3-\sqrt{3}}{2},\ \frac{3+\sqrt{3}}{2})$, C$(-\sqrt{3},\ \sqrt{3})$と定める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\text{I\,I}^\prime}$がなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．