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公立 兵庫県立大学 2011年 第2問$xy$平面において$y=x^2$で表される放物線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2)$を通る直線で，点$\mathrm{T}$における$C$の接線と直交するものを，点$\mathrm{T}$における$C$への垂線と呼ぶことにする．以下の問に答えなさい．
(1)点$\mathrm{T}(t,\ t^2)$における$C$への垂線の方程式を求めなさい．
(2)点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -12,\ \frac{15}{2} \right)$からひいた$C$への垂線の方程式をすべて求めなさい．
(3)$xy$平面上の点$\mathrm{B}(p,\ q)$から$C$への垂線が$3$本ひけるとき，$p,\ q$が満たすべき必要十分条件を求めなさい．
(1)点$\mathrm{T}(t,\ t^2)$における$C$への垂線の方程式を求めなさい．
(2)点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -12,\ \frac{15}{2} \right)$からひいた$C$への垂線の方程式をすべて求めなさい．
(3)$xy$平面上の点$\mathrm{B}(p,\ q)$から$C$への垂線が$3$本ひけるとき，$p,\ q$が満たすべき必要十分条件を求めなさい．
公立 九州歯科大学 2011年 第2問$\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}=72(\sin \theta+\cos \theta)$が成り立つとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$とする．
(1)$\displaystyle X=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$の値を求めよ．
(2)$Y=\sin \theta+\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$Z=\sin \theta-\cos \theta$の値を求めよ．
(4)$W=\tan 2\theta$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle X=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$の値を求めよ．
(2)$Y=\sin \theta+\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$Z=\sin \theta-\cos \theta$の値を求めよ．
(4)$W=\tan 2\theta$の値を求めよ．
公立 九州歯科大学 2011年 第3問初項を$a_1=16$とする数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^2-6n+20$で与えられるとき，次の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 2$に対して，$a_n$を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{b_n\}$を$b_1=a_1$，$b_2=a_2+a_3$，$b_3=a_4+a_5+a_6$，$b_4=a_7+a_8+a_9+a_{10}$，$\cdots$と定義する．このとき，$b_n=a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots +a_{k+n}$をみたす$k$を$n$を用いて表せ．
(3)数列$\{b_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和を$T_n$とするとき，極限値$\displaystyle A=\lim_{n \to \infty}\frac{T_n}{n^4}$と極限値$\displaystyle B=\lim_{n \to \infty}\frac{T_n-An^4}{n^3}$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle C=\sum_{n=1}^{24}(T_n-An^4-Bn^3)$の値を求めよ．ただし，$A$と$B$は(3)で求めた極限値である．
(1)$n \geqq 2$に対して，$a_n$を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{b_n\}$を$b_1=a_1$，$b_2=a_2+a_3$，$b_3=a_4+a_5+a_6$，$b_4=a_7+a_8+a_9+a_{10}$，$\cdots$と定義する．このとき，$b_n=a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots +a_{k+n}$をみたす$k$を$n$を用いて表せ．
(3)数列$\{b_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和を$T_n$とするとき，極限値$\displaystyle A=\lim_{n \to \infty}\frac{T_n}{n^4}$と極限値$\displaystyle B=\lim_{n \to \infty}\frac{T_n-An^4}{n^3}$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle C=\sum_{n=1}^{24}(T_n-An^4-Bn^3)$の値を求めよ．ただし，$A$と$B$は(3)で求めた極限値である．
公立 名古屋市立大学 2011年 第2問半径$1$の円が直線上を一定の速さ$a (a>0)$で滑らないように回転しながら進んでいる．時刻$0$において直線と接している円周上の点を$\mathrm{P}$，時刻$0$から$t$までに円が回転した角度を$\theta$とする．次の問いに答えよ．
(1)時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルの大きさ$|\overrightarrow{v(t)}|$を求めよ．
(2)積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2\pi}{a}} |\overrightarrow{v(t)}| \, dt$を求めよ．
(1)時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルの大きさ$|\overrightarrow{v(t)}|$を求めよ．
(2)積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2\pi}{a}} |\overrightarrow{v(t)}| \, dt$を求めよ．
公立 熊本県立大学 2011年 第3問正の数$\alpha,\ \beta,\ a,\ b$が$\displaystyle 2 \alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$，$\displaystyle \tan \alpha=\frac{1}{a}$，$\displaystyle \tan \beta=\frac{1}{b}$を満たすとき，$a$を用いて$b$を表しなさい．
公立 福岡女子大学 2011年 第2問$\displaystyle f(x)=x^3-3ax^2-3bx+c,\ H(x)=\int f(x) \, dx$とおく．また，方程式$f^\prime(x)=0$は異なる解を持ち，$x=-1$はその$1$つの解とする．次の問に答えなさい．
(1)$f^\prime(x)=0$を満たすもう$1$つの解を$a$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle a \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
(3)$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
(1)$f^\prime(x)=0$を満たすもう$1$つの解を$a$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle a \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
(3)$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
公立 福岡女子大学 2011年 第4問座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし，一定の正の数$r$で各点$(x,\ y)$を点$(rx,\ ry)$に移す相似変換を$g$とする．また，$g$と$f$の合成変換$g \circ f$を表す行列を$K(r,\ \theta)$とする．原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対して，点$\mathrm{Q}(c,\ d)$を次で定める：
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい．
(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい．$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$ad-bc>0$であることを示しなさい．
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる．このことを用いて，図のように，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい．ただし，$x_4=x_1$，$y_4=y_1$とする．
（図は省略）
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい．
(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい．$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$ad-bc>0$であることを示しなさい．
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる．このことを用いて，図のように，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい．ただし，$x_4=x_1$，$y_4=y_1$とする．
（図は省略）
公立 三重県立看護大学 2011年 第1問次の$(1)$から$(8)$に答えなさい．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2+px+q}{x-3}=7$が成り立つように，$p$と$q$の値を求めなさい．
(2)関数$f(x)=ax^2+bx$について，$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx=2$および$\displaystyle \int_2^4 f(x) \, dx=50$を満足するように，$a$と$b$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 6}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$の和を求めなさい．
(4)$a(b^2-c^2)-b(a^2-c^2)-c(b^2-a^2)$を因数分解しなさい．
(5)学生$10$人が$3$台の車（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に分乗する．$\mathrm{A}$に$5$人，$\mathrm{B}$に$3$人，$\mathrm{C}$に$2$人ずつ分乗する方法は何通りになるか，求めなさい．
(6)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{2}+2 \log_2 \sqrt{32}$を簡単にしなさい．
(7)$\sin 75^\circ+\cos 15^\circ$を求めなさい．
(8)$3$つの箱（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に「くじ」が$10$本ずつ入っている．そのうち，「当たり」が$\mathrm{A}$の箱には$2$本，$\mathrm{B}$の箱には$3$本，$\mathrm{C}$の箱には$1$本入っている．それぞれの箱から$1$本ずつ無作為に「くじ」を引いたとき，$3$本とも「はずれ」である確率を求めなさい．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2+px+q}{x-3}=7$が成り立つように，$p$と$q$の値を求めなさい．
(2)関数$f(x)=ax^2+bx$について，$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx=2$および$\displaystyle \int_2^4 f(x) \, dx=50$を満足するように，$a$と$b$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 6}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$の和を求めなさい．
(4)$a(b^2-c^2)-b(a^2-c^2)-c(b^2-a^2)$を因数分解しなさい．
(5)学生$10$人が$3$台の車（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に分乗する．$\mathrm{A}$に$5$人，$\mathrm{B}$に$3$人，$\mathrm{C}$に$2$人ずつ分乗する方法は何通りになるか，求めなさい．
(6)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{2}+2 \log_2 \sqrt{32}$を簡単にしなさい．
(7)$\sin 75^\circ+\cos 15^\circ$を求めなさい．
(8)$3$つの箱（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に「くじ」が$10$本ずつ入っている．そのうち，「当たり」が$\mathrm{A}$の箱には$2$本，$\mathrm{B}$の箱には$3$本，$\mathrm{C}$の箱には$1$本入っている．それぞれの箱から$1$本ずつ無作為に「くじ」を引いたとき，$3$本とも「はずれ」である確率を求めなさい．
公立 三重県立看護大学 2011年 第4問関数$f(x)=x^3-x^2+mx+1$について，次の問いに答えなさい．
(1)関数$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{32}{27}$となるとき，$m$の値を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，関数$f(x)$の極大値と極小値，およびそれぞれの$x$の値を求めなさい．
(1)関数$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{32}{27}$となるとき，$m$の値を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，関数$f(x)$の極大値と極小値，およびそれぞれの$x$の値を求めなさい．
公立 和歌山県立医科大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\sin^2 x}{x}$の導関数を求めよ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3$に対して，$\displaystyle a_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x} \, dx$とおく．連立不等式
\[ \frac{\pi}{2} \leqq x\leqq 2\pi,\quad 0 \leqq y \leqq |\displaystyle\frac{\sin x|{x}} \]
によって表される領域の部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$a_1$，$a_2$，$a_3$を用いて表せ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\sin^2 x}{x}$の導関数を求めよ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3$に対して，$\displaystyle a_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x} \, dx$とおく．連立不等式
\[ \frac{\pi}{2} \leqq x\leqq 2\pi,\quad 0 \leqq y \leqq |\displaystyle\frac{\sin x|{x}} \]
によって表される領域の部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$a_1$，$a_2$，$a_3$を用いて表せ．