以下の問いに答えよ．

(1)$3$次方程式$4x^3-3x+1=0$を解け．
(2)$\displaystyle \log_2 \cos \theta+\log_2 \left( \sin^2 \theta-\frac{1}{4} \right)+2=0$を満たす$\theta$で，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲にあるものを求めよ．

座標平面において，原点を通り傾きが$\tan 2\theta$の直線を$\ell$で表す．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たすとする．中心が第1象限に属し，直線$\ell$と$x$軸に接する半径1の円$C$を考える．さらに，円$C$と直線$\ell$および$x$軸に接し，中心が第1象限に属する2つの円のうち，面積が大きいものを$C^\prime$で表す．以下の問いに答えよ．

(1)円$C$の方程式を求めよ．
(2)円$C^\prime$の半径を，$\theta$の関数として表せ．
(3)円$C^\prime$の円周の長さが，円$C$の円周の長さの3倍になるように$\theta$の値を定めよ．

座標平面上の2点A$(-2,\ 0)$，B$(2,\ 0)$を端点とする線分ABと楕円の上半分$x^2+4y^2=4,\ y \geqq 0$に4つの頂点がある台形ABCDについて，以下の問いに答えよ．ただし，点Cは第1象限，点Dは第2象限に属しているとする．

(1)点Cの$x$座標を$\displaystyle 2\cos \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき，台形ABCDの面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)台形ABCDの面積の最大値を求めよ．また，そのときの点Cの$x$座標を求めよ．

数列$\{a_n\}$の一般項を
\[ a_n=\int_0^{n\pi} e^{-x} \sin x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\sin x=(-\cos x)^\prime$を用いた部分積分法により，
\[ a_n=A_n-\int_0^{n\pi} e^{-x} \cos x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となるときの$A_n$を求めよ．
(2)(1)で求めた$A_n$について，$\displaystyle a_n=\frac{A_n}{2}$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[ケ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

(1)自然数$n$に対し$n!$で$n$の階乗$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n-1) \cdot n$を表し，$2$を底とする対数関数を$\log_2 (x)$とする．このとき，
\[ \log_2(1!)-\log_2(2!)+\log_2(3!)-\log_2(4!)=[ア] \]
となる．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$a$，辺$\mathrm{CA}$の長さを$b$，辺$\mathrm{AB}$の長さを$c$，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とおく．$S$を$b,\ c$と$\mathrm{A}$を使って表すと，
\[ S=\frac{1}{2}bc [イ] \]
となる．また，$a,\ b,\ c,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の間には
\[ b=a \frac{[ウ]}{\sin \mathrm{A}},\quad c=a \frac{[エ]}{\sin \mathrm{A}} \]
という関係がある．よって，$S$を$a,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$で表すと，
\[ S=\frac{1}{2}a^2 [オ] \]
となる．とくに，$\mathrm{B}=30^\circ$，$\mathrm{C}=45^\circ$，$a=1$のときには，
\[ \sin \mathrm{B}=[カ],\quad \sin \mathrm{C}=[キ] \]
また，
\[ \sin \mathrm{A}=[ク] \]
だから，
\[ S=\frac{-1+[ケ]}{4} \]
となる．

$a$を正の定数とする．原点をOとし，曲線$y=x^3$上に点P$(a,\ a^3)$をとり，線分OPと曲線によって囲まれた部分をAとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)Aを$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)Aを$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．
(3)直線OPの傾きを$m$とするとき，$\displaystyle \frac{mW}{V}$の値を求めよ．

関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2}$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2}$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，増減表をつくり，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x^2}=0$を用いてもよい．
(2)$a$を定数とする．方程式$\log x=ax^2$の異なる実数解の個数を調べよ．

$n$を自然数とし，
\[ S_n=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2 \]
とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)次の等式を数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
(2)(1)の結果を利用して，$S_{3n}+n$が$3$の倍数であることを証明せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>-1$のとき，$\log (1+x) \leqq x$であることを示せ．
(2)$m$を自然数として，$p_n \ (n=1,\ 2,\ \cdots,\ m-1)$は$\displaystyle p_1=1-\frac{1}{m}$と$\displaystyle p_k=\left( 1-\frac{k}{m} \right)p_{k-1}$ \ $(k=2,\ 3,\ \cdots,\ m-1)$で定められるものとする．$m=365$のとき，$\displaystyle \log p_n \leqq -\frac{n(n+1)}{730}$であることを示せ．

以下の問に答えなさい．

(1)$x=2^{60}$のとき，次の問に答えなさい．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

(i) $x$は何桁の数か．
(ii) $\displaystyle \frac{1}{x}$は小数点以下何桁に初めて$0$ではない数が出てくるか．

(2)次の数列の第$k$項$a_k \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と，第$1$項から第$n$項までの和$S_n$とを求めなさい．
$3,\ 33,\ 333,\ 3333,\ 33333,\ \cdots$