「分数」について
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公立 県立広島大学 2011年 第3問$xy$平面上に2点
\[ \text{A}(3\cos t,\ 3\sin t), \text{B}(-\sin 3t,\ \cos 3t) \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
がある．次の問いに答えよ．
(1)原点をOとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{6}$になる$t$の値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の最大値と最小値を求めよ．
(3)三角形OABの面積の最大値を求めよ．
\[ \text{A}(3\cos t,\ 3\sin t), \text{B}(-\sin 3t,\ \cos 3t) \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
がある．次の問いに答えよ．
(1)原点をOとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{6}$になる$t$の値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の最大値と最小値を求めよ．
(3)三角形OABの面積の最大値を求めよ．
公立 広島市立大学 2011年 第3問平面上の三角形ABCの頂点A，B，Cの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)線分ABの垂直二等分線を$\ell$とする．$\ell$上の点Pの位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とするとき，直線$\ell$のベクトル方程式は$\displaystyle \overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2)$で与えられることを示せ．
(2)(1)の結果を用いて，三角形ABCの3つの辺の垂直二等分線が1点Dで交わることを示せ．
(3)(2)で定まる点Dの位置ベクトル$\overrightarrow{d}$が，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{4}{7}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow{b}-\frac{1}{7}\overrightarrow{c}$を満たすものとする．
(4)辺ABの中点をMとするとき，3点C，M，Dは一直線上にあることを示し，$\text{CM}:\text{MD}$を求めよ．
(5)三角形ABCの三辺の長さの比$\text{BC}:\text{CA}:\text{AB}$を求めよ．
(1)線分ABの垂直二等分線を$\ell$とする．$\ell$上の点Pの位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とするとき，直線$\ell$のベクトル方程式は$\displaystyle \overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2)$で与えられることを示せ．
(2)(1)の結果を用いて，三角形ABCの3つの辺の垂直二等分線が1点Dで交わることを示せ．
(3)(2)で定まる点Dの位置ベクトル$\overrightarrow{d}$が，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{4}{7}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow{b}-\frac{1}{7}\overrightarrow{c}$を満たすものとする．
(4)辺ABの中点をMとするとき，3点C，M，Dは一直線上にあることを示し，$\text{CM}:\text{MD}$を求めよ．
(5)三角形ABCの三辺の長さの比$\text{BC}:\text{CA}:\text{AB}$を求めよ．
公立 大阪府立大学 2011年 第1問$r$を正の定数とし，$n$を$3$以上の自然数とする．$C$が半径が$r$の円とする．円$C$に内接する正$n$角形の$1$辺の長さを$s_n$，円$C$に外接する正$n$角形の$1$辺の長さを$t_n$とする．ただし，正$n$角形が円$C$に外接するとは，円$C$が正$n$角形のすべての辺に接することである．
(1)$s_n$を$r$と$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{s_n}{t_n}$を$n$を用いて表せ．
(3)$s_5=2$であるとき，円$C$に内接する正$5$角形の面積を，小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．ただし，$\tan 36^\circ=0.727$としてよい．
(1)$s_n$を$r$と$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{s_n}{t_n}$を$n$を用いて表せ．
(3)$s_5=2$であるとき，円$C$に内接する正$5$角形の面積を，小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．ただし，$\tan 36^\circ=0.727$としてよい．
公立 大阪府立大学 2011年 第2問$f(x)=e^{-x}\cos x$とする．
(1)$e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x$を微分せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ S_n=\frac{1}{n}\left\{ f \left( \frac{\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{2\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{3\pi}{2n} \right)+\cdots + f \left( \frac{n\pi}{2n} \right) \right\} \]
とおく．次の式が成り立つことを示せ．
\[ S_n<\frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx < S_n + \frac{1}{n} \]
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
(1)$e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x$を微分せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ S_n=\frac{1}{n}\left\{ f \left( \frac{\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{2\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{3\pi}{2n} \right)+\cdots + f \left( \frac{n\pi}{2n} \right) \right\} \]
とおく．次の式が成り立つことを示せ．
\[ S_n<\frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx < S_n + \frac{1}{n} \]
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
公立 大阪府立大学 2011年 第3問$a$を実数とする．曲線$\displaystyle y=\frac{3}{2}\sqrt{4-x^2}$を$C$，直線$y=ax+3a+1$を$\ell$とする．
(1)直線$\ell$は$a$によらず定点$\mathrm{P}$を通る．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点を共有するときの$a$の値の範囲を求めよ．
(1)直線$\ell$は$a$によらず定点$\mathrm{P}$を通る．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点を共有するときの$a$の値の範囲を求めよ．
公立 広島市立大学 2011年 第4問関数$f(x)=(x-2)e^{-\frac{x}{3}}$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減，極値，凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．必要であれば$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．
\[ x \geqq 0,\quad y \leqq 0,\quad y \geqq f(x) \]
(1)$f(x)$の増減，極値，凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．必要であれば$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．
\[ x \geqq 0,\quad y \leqq 0,\quad y \geqq f(x) \]
公立 京都府立大学 2011年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$つの角$\angle \mathrm{A},\ \angle \mathrm{B},\ \angle \mathrm{C}$のそれぞれの大きさを$A,\ B,\ C$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$を余弦の加法定理から導け．
(2)$(1)$の結果を用いて$\displaystyle \cos A+\cos B \leqq 2\sin \frac{C}{2}$を示せ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3)$(2)$の結果を用いて$\cos A+\cos B+\cos C$が最大となるとき，$A,\ B,\ C$を求めよ．
(1)$\displaystyle \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$を余弦の加法定理から導け．
(2)$(1)$の結果を用いて$\displaystyle \cos A+\cos B \leqq 2\sin \frac{C}{2}$を示せ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3)$(2)$の結果を用いて$\cos A+\cos B+\cos C$が最大となるとき，$A,\ B,\ C$を求めよ．
公立 京都府立大学 2011年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$で表される点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{OB}$を$3:1$に外分する点とする．以下の問いに答えよ．
(1)実数$s,\ t$が$\displaystyle 0 \leqq s \leqq \frac{1}{2},\ 0 \leqq t \leqq \frac{1}{2}$の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の存在範囲を求めよ．
(2)実数$s,\ t$が$3s+2t=3,\ s \geqq 0,\ t \geqq 0$の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の存在範囲を求めよ．
(3)実数$s,\ t$が$s+2t=2,\ 3s+2t=3,\ s \geqq 0,\ t \geqq 0$の条件を満たすとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=4,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3,\ \angle \text{AOB}=60^\circ$とする．$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上にあるとき，$s,\ t$の関係式を求めよ．
(1)実数$s,\ t$が$\displaystyle 0 \leqq s \leqq \frac{1}{2},\ 0 \leqq t \leqq \frac{1}{2}$の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の存在範囲を求めよ．
(2)実数$s,\ t$が$3s+2t=3,\ s \geqq 0,\ t \geqq 0$の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の存在範囲を求めよ．
(3)実数$s,\ t$が$s+2t=2,\ 3s+2t=3,\ s \geqq 0,\ t \geqq 0$の条件を満たすとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=4,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3,\ \angle \text{AOB}=60^\circ$とする．$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上にあるとき，$s,\ t$の関係式を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第3問ベクトル$\overrightarrow{x_1}=(0,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{x_2}=(1,\ 0,\ 1)$，$\overrightarrow{x_3}=(1,\ 1,\ 0)$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{b_1}=\frac{\overrightarrow{x_1}}{|\overrightarrow{x_1}|}$とおくとき，$|\overrightarrow{x_2}-s \overrightarrow{b_1}|$を最小にする実数$s$の値とそのときのベクトル$\overrightarrow{y_2}=\overrightarrow{x_2}-s \overrightarrow{b_1}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{b_2}=\frac{\overrightarrow{y_2}}{|\overrightarrow{y_2}|}$とおくとき，$|\overrightarrow{x_3}-t \overrightarrow{b_1} - u \overrightarrow{b_2}|$を最小にする実数$t,\ u$の値とそのときのベクトル$\overrightarrow{y_3}=\overrightarrow{x_3}-t \overrightarrow{b_1}-u \overrightarrow{b_2}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{b_3}=\frac{\overrightarrow{y_3}}{|\overrightarrow{y_3}|}$とおくとき，$\overrightarrow{b_1},\ \overrightarrow{b_2},\ \overrightarrow{b_3}$は互いに直交することを示せ．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{b_1}=\frac{\overrightarrow{x_1}}{|\overrightarrow{x_1}|}$とおくとき，$|\overrightarrow{x_2}-s \overrightarrow{b_1}|$を最小にする実数$s$の値とそのときのベクトル$\overrightarrow{y_2}=\overrightarrow{x_2}-s \overrightarrow{b_1}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{b_2}=\frac{\overrightarrow{y_2}}{|\overrightarrow{y_2}|}$とおくとき，$|\overrightarrow{x_3}-t \overrightarrow{b_1} - u \overrightarrow{b_2}|$を最小にする実数$t,\ u$の値とそのときのベクトル$\overrightarrow{y_3}=\overrightarrow{x_3}-t \overrightarrow{b_1}-u \overrightarrow{b_2}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{b_3}=\frac{\overrightarrow{y_3}}{|\overrightarrow{y_3}|}$とおくとき，$\overrightarrow{b_1},\ \overrightarrow{b_2},\ \overrightarrow{b_3}$は互いに直交することを示せ．
公立 愛知県立大学 2011年 第3問曲線$C_1:y=p \cos x$，$C_2:y=q \sin x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\ p>0,\ q>0$である．
(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を$p,\ q$で表せ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$p,\ q$で表せ．
(3)$p,\ q$が$p^2+q^2=4$を満たすとき，(2)で求めた面積$S$の最大値を求めよ．
(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を$p,\ q$で表せ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$p,\ q$で表せ．
(3)$p,\ q$が$p^2+q^2=4$を満たすとき，(2)で求めた面積$S$の最大値を求めよ．