「分数」について
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公立 高崎経済大学 2011年 第2問数列$\{a_n\}$が$a_1 = 2,\ a_{n+1} −2a_n +a_na_{n+1}=0$を満たしている．以下の問に答えよ．
(1)すべての自然数$n$について$a_n>0$であることを示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とするとき，$b_n$と$b_{n+1}$の関係を式で表せ．
(3)一般項$a_n$を求めよ．
(1)すべての自然数$n$について$a_n>0$であることを示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とするとき，$b_n$と$b_{n+1}$の関係を式で表せ．
(3)一般項$a_n$を求めよ．
公立 高崎経済大学 2011年 第3問放物線$y=-(x-2)^2+1$上に点Pがある．点Pの$x$座標を$a$とし，$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq \frac{3}{2}$とする．以下の問に答えよ．
(1)放物線上の点Pにおける接線の方程式を求めよ．
(2)点Pから$y$軸に下ろした垂線の足を点Qとする．また，(1)で求めた接線と$y$軸の交点を点Rとする．$\triangle$PQRの面積$S$を$a$で表せ．点Pから$y$軸に下ろした垂線と$y$軸との交点のことである．
(3)(2)で求めた面積$S$が最大になるときの$a$の値とその面積を求めよ．
(1)放物線上の点Pにおける接線の方程式を求めよ．
(2)点Pから$y$軸に下ろした垂線の足を点Qとする．また，(1)で求めた接線と$y$軸の交点を点Rとする．$\triangle$PQRの面積$S$を$a$で表せ．点Pから$y$軸に下ろした垂線と$y$軸との交点のことである．
(3)(2)で求めた面積$S$が最大になるときの$a$の値とその面積を求めよ．
公立 岡山県立大学 2011年 第2問数列$\{a_n\}$が，$\displaystyle a_1=\frac{2}{3},\ a_{n+1}=\frac{2-a_n}{3-2a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たしている．次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ．
(3)$\displaystyle a_{n+1}-a_n<\frac{1}{5000}$を満たす最小の$n$を求めよ．
(1)$a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ．
(3)$\displaystyle a_{n+1}-a_n<\frac{1}{5000}$を満たす最小の$n$を求めよ．
公立 岡山県立大学 2011年 第3問$a$を実数とする．曲線$\displaystyle y=\frac{1}{4}(x-a)^2$と曲線$y=e^x$の共有点$\mathrm{P}(s,\ t)$において$2$曲線の接線が一致するとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq a$のとき$\displaystyle \frac{(x-a)^2}{e^x}$の最大値を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq a$のとき$\displaystyle \frac{(x-a)^2}{e^x}$の最大値を求めよ．
公立 岡山県立大学 2011年 第4問次の定積分を求めよ．
(1)$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{x\{1+(\log x)^2\}} \; dx$
(2)$\displaystyle \int_0^\pi x^2 \cos nx \; dx \quad (n\text{は自然数})$
(3)$\displaystyle \int_0^1 \cos m\pi x \; \cos n\pi x \; dx \quad (m,\ n \text{は0以上の整数})$
(1)$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{x\{1+(\log x)^2\}} \; dx$
(2)$\displaystyle \int_0^\pi x^2 \cos nx \; dx \quad (n\text{は自然数})$
(3)$\displaystyle \int_0^1 \cos m\pi x \; \cos n\pi x \; dx \quad (m,\ n \text{は0以上の整数})$
公立 高知工科大学 2011年 第2問$\triangle$ABCの頂点を通らない直線$\ell$が，辺AC，辺BCのB方向への延長線，および辺ABと，それぞれ点P，Q，Rで交わり，
\[ \text{AP}:\text{PC}=\alpha:1,\quad \text{CQ}:\text{QB}=\beta:1 \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$として，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を$\alpha,\ \beta,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，等式$\displaystyle \frac{\text{AP}}{\text{PC}} \cdot \frac{\text{CQ}}{\text{QB}} \cdot \frac{\text{BR}}{\text{RA}}=1$を証明せよ．
(2)$\triangle$QRB，$\triangle$BCR，$\triangle$APRの面積比が$1:2:3$のとき，$\triangle$APRと$\triangle$CPRの面積比を求めよ．
(3)(2)のとき，直線CRと直線AQの交点をDとする．線分の長さの比$\text{AD}:\text{QD}$を求めよ．
\[ \text{AP}:\text{PC}=\alpha:1,\quad \text{CQ}:\text{QB}=\beta:1 \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$として，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を$\alpha,\ \beta,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，等式$\displaystyle \frac{\text{AP}}{\text{PC}} \cdot \frac{\text{CQ}}{\text{QB}} \cdot \frac{\text{BR}}{\text{RA}}=1$を証明せよ．
(2)$\triangle$QRB，$\triangle$BCR，$\triangle$APRの面積比が$1:2:3$のとき，$\triangle$APRと$\triangle$CPRの面積比を求めよ．
(3)(2)のとき，直線CRと直線AQの交点をDとする．線分の長さの比$\text{AD}:\text{QD}$を求めよ．
公立 高知工科大学 2011年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{2(\log x)^2-3\log x}{x} \ (x>0)$について，次の各問に答えよ．ただし$\log x$は自然対数である．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
公立 高知工科大学 2011年 第4問次の各問に答えよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$を証明せよ．
(3)関数$y=xe^{-x}$の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4)$n$を自然数とする．$\displaystyle I_n=\int_0^n xe^{-x}\, dx$を計算し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}I_n$を求めよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$を証明せよ．
(3)関数$y=xe^{-x}$の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4)$n$を自然数とする．$\displaystyle I_n=\int_0^n xe^{-x}\, dx$を計算し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}I_n$を求めよ．
公立 高知工科大学 2011年 第3問0以上の整数$n$に対して
\[ a_n=\int_0^1 e^{-x}x^n \, dx \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
とおく．ここで$e$は自然対数の底である．次の各問に答えよ．
(1)$a_0$と$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$と$a_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)等式
\[ \frac{a_n}{n!}=1-\frac{1}{e}\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right) \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)次式が成り立つことを証明せよ．
\[ \maru{1} \ 0 \leqq a_n \leqq a_0 \qquad \maru{2} \ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)=e \]
\[ a_n=\int_0^1 e^{-x}x^n \, dx \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
とおく．ここで$e$は自然対数の底である．次の各問に答えよ．
(1)$a_0$と$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$と$a_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)等式
\[ \frac{a_n}{n!}=1-\frac{1}{e}\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right) \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)次式が成り立つことを証明せよ．
\[ \maru{1} \ 0 \leqq a_n \leqq a_0 \qquad \maru{2} \ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)=e \]
公立 広島市立大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$A=\biggl( \begin{array}{cc}
7 & -3 \\
-3 & 1
\end{array} \biggr), B=\biggl( \begin{array}{c}
2 \\
-4
\end{array} \biggr)$とするとき，$A$の逆行列$A^{-1}$と$B$の積$A^{-1}B$を計算せよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
\[ y=x^{1+\frac{1}{x}} \quad (x>0) \]
(3)次の積分を求めよ．
\mon[(i)] $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x+1} \, dx$
\mon[(ii)] $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^2}$
(1)$A=\biggl( \begin{array}{cc}
7 & -3 \\
-3 & 1
\end{array} \biggr), B=\biggl( \begin{array}{c}
2 \\
-4
\end{array} \biggr)$とするとき，$A$の逆行列$A^{-1}$と$B$の積$A^{-1}B$を計算せよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
\[ y=x^{1+\frac{1}{x}} \quad (x>0) \]
(3)次の積分を求めよ．
\mon[(i)] $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x+1} \, dx$
\mon[(ii)] $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^2}$