公正な硬貨$X$を$3$回投げる．「$1$回目に表が出る」という事象を$A$，「$3$回目に表が出る」という事象を$B$，「試行結果が裏→表の順序で出ることはない」という事象を$C$とする．このとき，
\[ P(A \cap C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]} \]
である．

次に，硬貨$X$が必ずしも公正でなく表の出る確率が$a (0<a<1)$，裏の出る確率が$1-a$であるとする．この場合の確率を$P_a$で表すとき，
\[ \frac{P_a(A)P_a(B)P_a(C)}{P_a(A \cap B \cap C)} \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．

ただし，$[セ]$，$[タ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 6
\end{array} \right)$とする．点$(x,\ y)$が$xy$平面上を動くとき，行列$A$による変換$\left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$で移される点$(X,\ Y)$は$XY$平面上の直線$\ell:Y=[ト]X$上を動く．

次に，行列$G=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$が$AGA=A$を満たすとする．点$(X,\ Y)$が$\ell$上を動くとき，その各点で列ベクトル$G \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)$が定まる．このとき，列ベクトル$G \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)$の大きさは$X$の値により変化するが，いずれの場合においても$\displaystyle a=\frac{[ナ]}{[ニ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のとき最小となる．ただし，$[ニ]$，$[ネ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

定積分$\displaystyle I=\int_a^b (x-a)(x-b)(x-c) \, dx$について答えよ．ただし，$\displaystyle m=\frac{a+b}{2}$，$\displaystyle h=\frac{b-a}{2}$，$a \neq b$とする．

(1)$(x-a)(x-b)(x-c)$を$c,\ m,\ h,\ t$のみで表せ．ここで，$t$は$t=x-m$である．
(2)定積分$I$を$t=x-m$と変数変換して求めよ．
(3)$I=0$のとき，$a,\ b,\ c$にどのような関係があるか求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$3$つの数字を使って作られる$3$桁の整数の中で，$345$より大きなものは$[　]$個である．また，$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$4$つの数字を使って作られる$4$桁の整数は，全部で$[　]$個である．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(-1,\ 5)$のなす角を$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[　]}{\sqrt{[　]}}$である．また，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[　]}{\sqrt{[　]}}$である．したがって，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で作られる平行四辺形の面積は$[　]$である．
(3)$n \leqq \log_{10}2^{40}<n+1$を満たす整数は$n=[　]$であるから，$2^{40}$は$[　]$桁の整数である．$\log_{10}2$の値として$0.3010$を用いてよい．
(4)方程式$x^2=3+\sqrt{3+x}$の解は$x=[　]$，$\displaystyle \frac{[　]+\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

$2$つの曲線$y=|x^2-1|$，$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^3-x)$に囲まれた図形の面積を求めなさい．

$x$の$3$次関数$y=x^3+px^2+qx+r$のグラフは放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$と相異なる$3$点$\mathrm{A}(4,\ 4)$，$\mathrm{B}(-2,\ 1)$，$\mathrm{C}(x_0,\ y_0)$で交わり，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{BC}$は直交するとする．

(1)このとき$x_0$と$y_0$を求めなさい．
(2)このとき$p,\ q,\ r$を求めなさい．

次の積分
\[ \int_{-1}^1 x^2(x^3+ax+b)^2 \, dx \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$で，$b$の値は$[エ]$である．

$3$つの実数$x,\ y,\ z (x<y<z)$において，$x+y+z=22$，$x^2+y^2+z^2=174$，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{31}{70}$である．これらの実数$x,\ y,\ z$を求めると
\[ x=[ア],\quad y=[イ],\quad z=[ウエ] \]
である．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がジャンケンを$6$回して，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の対戦成績が同じとなる確率は
\[ P=\frac{[ア][イ]}{[ウ][エ][オ]} \]
である．

三角形$\mathrm{ABC}$で$\angle \mathrm{B}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\mathrm{BC}=10$のとき，
\[ \sin A=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
で，$\mathrm{AB}$の長さは$[ウエ] \sqrt{[オ]}-[カ] \sqrt{[キ]}$，

$\mathrm{AC}$の長さは$[クケ] \sqrt{[コ]}-[サシ]$である．