次の問いに答えよ．

(1)$t$に関する関数$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のグラフをかけ．
(2)$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のとき，$\sqrt{x^2-1}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とし，点$\mathrm{P}(a,\ b)$を双曲線$x^2-y^2=1$上にある第$1$象限内の点とする．$\displaystyle a=\frac{e^s+e^{-s}}{2} (s>0)$のとき，線分$\mathrm{OP}$と双曲線$x^2-y^2=1$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を，$s$を用いて表せ．

実数$a$について，次の定積分を考える．
\[ I(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x-ax)^2 \, dx \]

(1)不定積分$\int x \sin x \, dx$を求めよ．
(2)$I(a)$を求めよ．
(3)$a$が$a \geqq 0$の範囲を動くとき，$I(a)$の最小値を求めよ．

袋の中に，赤玉，青玉，白玉，黒玉が，それぞれ$5$個ずつ入っている．このとき，次の問に答えよ．

(1)袋から$2$個を同時に取り出すとき，その$2$個が同じ色である確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(2)袋から$3$個を同時に取り出すとき，そのうち$2$個だけが同じ色である確率は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]}$である．
(3)袋から$3$個を同時に取り出すとき，取り出した$3$個の色がすべて異なる確率は$\displaystyle \frac{[トナ]}{[ニヌ]}$である．

放物線$y=ax^2+bx+c (a \neq 0)$が点$(0,\ 1)$を通り，かつ，その頂点の座標が$(\cos \theta,\ -\cos 2\theta)$であるとき，次の問に答えよ．ただし，定数$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にある．

(1)$a$および$c$の値を求めよ．
(2)$b$を$\theta$を用いて表せ．
(3)関数$y=ax^2+bx+c (-1 \leqq x \leqq 1)$の最大値が$5$となるような$\theta$の値をすべて求めよ．

実数$t$は$t>1$を満たすとする．点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ t \right)$から，円$x^2+y^2=1$に相異なる$2$本の接線を引き，$2$つの接点を通る直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)$t$を$t>1$の範囲で動かすとき，$t$によらず$\ell$が通る点がある．この点の座標を求めよ．

曲線$y=e^{x^2}-1 (x \geqq 0)$を$y$軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に，時刻$t$における水の体積が$vt$となるように，単位時間あたり$v$の割合で水を注入する．ただし，$v$は正の定数であり，$y$軸の負の方向を鉛直下方とする．

(1)不定積分$\displaystyle \int \log (y+1) \, dy$を求めよ．
(2)水面の高さが$h$となったときの容器内の水の体積$V$を，$h$を用いて表せ．ただし，$h$は容器の底から測った高さである．
(3)水面の高さが$e^{10}-1$となった瞬間における，水面の高さの変化率$\displaystyle \frac{dh}{dt}$を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$を考える．また$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{a}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{b} \]
である．
(2)線分$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{[　]} ([　] \overrightarrow{a}+[　] \overrightarrow{b}+[　] \overrightarrow{c}) \]
である．
(3)四面体$\mathrm{OAPC}$の体積は，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$倍である．

関数$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-6x-\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}$の定義域は$x>0$とする．
\[ x=\frac{[オ]\text{±}\sqrt{[カ]}}{[キ]} \text{のとき，関数} f(x) \text{は最小値}[ク]\text{をとる．} \]
ただし，$[キ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B} \displaystyle \biggl( 0,\ \frac{1}{2},\ 0 \biggr)$，$\mathrm{C} \displaystyle \biggl( 0,\ 0,\ \frac{1}{3} \biggr)$の定める平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすようにとり，点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろす．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{[ケ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[コ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[サ] \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[シ]} \]
となる．ただし，$[シ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

$a>0$，$b \geqq 0$のとき，曲線$y=-a \cos \pi x+a+b (0 \leqq x \leqq 1)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすると，
\[ V=\frac{\pi}{2}([ノ]a^2+[ハ]ab+[ヒ]b^2) \]
となる．また，ある定数$c$に対し$2a+b=c$が成り立つとすると，$\displaystyle a=\frac{c}{[フ]}$のとき，$V$は最小値$\displaystyle \frac{[ヘ]}{8}\pi c^2$をとる．