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私立 大同大学 2011年 第5問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1}=x^3+px^2+qx+r+\frac{s}{x^2+1}$をみたす定数$p,\ q,\ r,\ s$の値を求めよ．
(2)置換積分法により，$x=\tan \theta$とおいて$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1} \geqq \frac{x^3(x-1)^2}{k} (0 \leqq x \leqq 1)$をみたす最小の正の定数$k$の値を求めよ．
(4)上の$(1)$，$(2)$，$(3)$の結果を使って，$\displaystyle \pi<\frac{63}{20}$を示せ．
(1)$\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1}=x^3+px^2+qx+r+\frac{s}{x^2+1}$をみたす定数$p,\ q,\ r,\ s$の値を求めよ．
(2)置換積分法により，$x=\tan \theta$とおいて$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1} \geqq \frac{x^3(x-1)^2}{k} (0 \leqq x \leqq 1)$をみたす最小の正の定数$k$の値を求めよ．
(4)上の$(1)$，$(2)$，$(3)$の結果を使って，$\displaystyle \pi<\frac{63}{20}$を示せ．
私立 大同大学 2011年 第6問次の問いに答えよ．
(1)$2x^2-19x+a<0$をみたす実数$x$が存在するとき，定数$a$の値の範囲は$\displaystyle a<\frac{[ ]}{[ ]}$である．$2x^2-19x+a<0$をみたす整数$x$がただ$1$つ存在するとき，その整数$x$は$[ ]$であり，定数$a$の値の範囲は$[ ] \leqq a<[ ]$である．
(2)外接円の半径が$16$である$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\displaystyle \cos C=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$とするとき，$\displaystyle \sin B=\frac{[ ]}{[ ]}$，$\mathrm{AC}=[ ]$，$\mathrm{BC}=[ ] \sqrt{[ ]}$である．
(1)$2x^2-19x+a<0$をみたす実数$x$が存在するとき，定数$a$の値の範囲は$\displaystyle a<\frac{[ ]}{[ ]}$である．$2x^2-19x+a<0$をみたす整数$x$がただ$1$つ存在するとき，その整数$x$は$[ ]$であり，定数$a$の値の範囲は$[ ] \leqq a<[ ]$である．
(2)外接円の半径が$16$である$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\displaystyle \cos C=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$とするとき，$\displaystyle \sin B=\frac{[ ]}{[ ]}$，$\mathrm{AC}=[ ]$，$\mathrm{BC}=[ ] \sqrt{[ ]}$である．
私立 大同大学 2011年 第7問$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{CD}$上にそれぞれ点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があり，$\mathrm{AE}=1$，$\mathrm{CF}=3$とする．このとき$\mathrm{CE}=\mathrm{DE}=\sqrt{[ ]}$，$\mathrm{EF}=\sqrt{[ ]}$であり，$\angle \mathrm{BFE}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]}}$である．
私立 中央大学 2011年 第2問数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}(n-1) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定め，これに対して新しい数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\sin a_n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定める．このとき以下の設問に答えよ．
(1)$b_{12}$，$b_{18}$および$b_{23}$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} b_n$の値を求めよ．
\[ a_n=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}(n-1) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定め，これに対して新しい数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\sin a_n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定める．このとき以下の設問に答えよ．
(1)$b_{12}$，$b_{18}$および$b_{23}$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} b_n$の値を求めよ．
私立 千葉工業大学 2011年 第2問次の各問に答えよ．
(1)円$C:x^2+y^2-4x+6y+8=0$の中心は$([ア],\ [イウ])$，半径は$\sqrt{[エ]}$である．直線$(m+3)x-my-6=0$が$C$と接するような定数$m$の値は$[オカ]$または$[キ]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．$F=(1-4 \sin \theta) \cos 2\theta$は$t=\sin \theta$を用いて表すと，
\[ F=[ク] t^3-[ケ] t^2-[コ] t+[サ] \]
となる．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[シ]}{[ス]} \pi$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$をとる．
(1)円$C:x^2+y^2-4x+6y+8=0$の中心は$([ア],\ [イウ])$，半径は$\sqrt{[エ]}$である．直線$(m+3)x-my-6=0$が$C$と接するような定数$m$の値は$[オカ]$または$[キ]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．$F=(1-4 \sin \theta) \cos 2\theta$は$t=\sin \theta$を用いて表すと，
\[ F=[ク] t^3-[ケ] t^2-[コ] t+[サ] \]
となる．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[シ]}{[ス]} \pi$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$をとる．
私立 福岡大学 2011年 第2問次の$[ ]$をうめよ．
(1)$2$次関数$y=3x^2 (k \leqq x \leqq k+1)$の最大値と最小値の差を$M$とする．$\displaystyle -1 \leqq k \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$M=2$となる$k$の値は$[ ]$である．
また，$\displaystyle -\frac{1}{2} \leqq k \leqq 0$のとき，$M \leqq 2$である$k$の値の範囲は$[ ]$である．
(2)等式$2 \log_2 (y-3x)=2+\log_2 x+\log_2 y$が成り立っているとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$の値は$[ ]$である．また，このとき，$\displaystyle \log_2 \frac{xy-6x^2}{y^2-5xy-12x^2}$の値は$[ ]$である．
(1)$2$次関数$y=3x^2 (k \leqq x \leqq k+1)$の最大値と最小値の差を$M$とする．$\displaystyle -1 \leqq k \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$M=2$となる$k$の値は$[ ]$である．
また，$\displaystyle -\frac{1}{2} \leqq k \leqq 0$のとき，$M \leqq 2$である$k$の値の範囲は$[ ]$である．
(2)等式$2 \log_2 (y-3x)=2+\log_2 x+\log_2 y$が成り立っているとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$の値は$[ ]$である．また，このとき，$\displaystyle \log_2 \frac{xy-6x^2}{y^2-5xy-12x^2}$の値は$[ ]$である．
私立 福岡大学 2011年 第3問$a>0$とし，関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax+5$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{8}{3} \sqrt{2}$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x \geqq 0 \\
y \geqq x \\
y \leqq -f^\prime(x)
\end{array} \right.$の表す領域の面積を求めよ．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数である．
(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x \geqq 0 \\
y \geqq x \\
y \leqq -f^\prime(x)
\end{array} \right.$の表す領域の面積を求めよ．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数である．
私立 福岡大学 2011年 第4問曲線$y=-\cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる形をした容器がある．ただし，単位は$\mathrm{cm}$とする．この容器に毎秒$1 \, \mathrm{cm}^3$ずつ水を入れたとき，$t$秒後の水面の半径を$r \, \mathrm{cm}$とし，水の体積を$V \, \mathrm{cm}^3$とする．水を入れ始めてからあふれるまでの時間内で考えるとき，次の問いに答えよ．
(1)水の体積$V$を$r$の式で表せ．
(2)水を入れ始めて$t$秒後の$r$の増加する速度$\displaystyle \frac{dr}{dt}$を$r$の式で表せ．
(1)水の体積$V$を$r$の式で表せ．
(2)水を入れ始めて$t$秒後の$r$の増加する速度$\displaystyle \frac{dr}{dt}$を$r$の式で表せ．
私立 大同大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{[ ] \sqrt{[ ]}-[ ]}$
$\displaystyle \hspace{27mm} =\frac{[ ]+[ ] \sqrt{2}+[ ] \sqrt{3}+\sqrt{6}}{[ ]}$
(2)外接円の半径が$16$である$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\displaystyle \cos C=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$とするとき，$\displaystyle \sin B=\frac{[ ]}{[ ]}$，$\mathrm{AC}=[ ]$，$\mathrm{BC}=[ ] \sqrt{7}$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{AM}=[ ]$である．
(3)$10$個の製品の中に不良品が$3$個含まれている．これらから無作為に$4$個の製品を取り出すとき，含まれる不良品の個数を$X$で表す．$X=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$，$X=3$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．$X$の期待値は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
(1)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{[ ] \sqrt{[ ]}-[ ]}$
$\displaystyle \hspace{27mm} =\frac{[ ]+[ ] \sqrt{2}+[ ] \sqrt{3}+\sqrt{6}}{[ ]}$
(2)外接円の半径が$16$である$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\displaystyle \cos C=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$とするとき，$\displaystyle \sin B=\frac{[ ]}{[ ]}$，$\mathrm{AC}=[ ]$，$\mathrm{BC}=[ ] \sqrt{7}$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{AM}=[ ]$である．
(3)$10$個の製品の中に不良品が$3$個含まれている．これらから無作為に$4$個の製品を取り出すとき，含まれる不良品の個数を$X$で表す．$X=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$，$X=3$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．$X$の期待値は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
私立 大同大学 2011年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$t=\log_2 x$とおく．$x>8$のとき$t>[ ]$である．$\displaystyle \log_2 \left( \log_4 \frac{x}{8} \right)=\log_4 \left( \log_8 \frac{x}{2} \right)$のとき，
\[ \log_2 \frac{t-[ ]}{[ ]}=\log_4 \frac{t-[ ]}{[ ]} \]
であり，$\displaystyle t=\frac{[ ]+[ ] \sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
(2)$1$辺の長さが$4$の正三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=[ ] \overrightarrow{b}-[ ] \overrightarrow{c}$である．さらに$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{b}+[ ] \overrightarrow{c},\quad \mathrm{BE}=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]} \]
である．
(1)$t=\log_2 x$とおく．$x>8$のとき$t>[ ]$である．$\displaystyle \log_2 \left( \log_4 \frac{x}{8} \right)=\log_4 \left( \log_8 \frac{x}{2} \right)$のとき，
\[ \log_2 \frac{t-[ ]}{[ ]}=\log_4 \frac{t-[ ]}{[ ]} \]
であり，$\displaystyle t=\frac{[ ]+[ ] \sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
(2)$1$辺の長さが$4$の正三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=[ ] \overrightarrow{b}-[ ] \overrightarrow{c}$である．さらに$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{b}+[ ] \overrightarrow{c},\quad \mathrm{BE}=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]} \]
である．