$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2-6x+12,\quad C_2:y=x^2+6x+8 \]
の頂点同士を結ぶ直線を$\ell$とする．

(1)$C_1$の頂点の座標は$([ア],\ [イ])$であり，$C_2$の頂点の座標は$(-[ウ],\ -[エ])$である．
(2)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{[オ]}{[カ]}x+[キ]$となる．
(3)$C_1$と$\ell$との交点の$x$座標は$[ク]$，$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サ]}$，$C_2$と$\ell$との交点の$x$座標は$-[シ]$，$\displaystyle -\frac{[ス]}{[セ]}$である．$C_1$と$\ell$とで囲まれた部分の面積と，$C_2$と$\ell$とで囲まれた部分の面積との和は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$となる．

三角形$\mathrm{ABC}$があり，各辺の長さは$\mathrm{BC}=2 \sqrt{13}$，$\mathrm{CA}=2 \sqrt{10}$，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{5}$である．このとき，

(1)$\displaystyle \cos A=\frac{\sqrt{[　]}}{10}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．
(3)頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線を引き，この垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とすれば，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[　] \sqrt{65}}{65}$である．
(4)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$とすれば，線分$\mathrm{AE}$の長さは$\sqrt{[　]}$である．
(5)$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，線分$\mathrm{CF}$の長さは$4 \sqrt{13}-2 \sqrt{[　]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}} \div \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} \times {2}^{\frac{5}{6}}=[　]$
(2)$(\log_2 27+5 \log_2 3) \cdot \log_3 2=[　]$
(3)$16<{4}^{x-1}<8 \cdot {2}^x$を満たす$x$の範囲は$[　]<x<[　]$である．
(4)$\log_{\frac{1}{3}}(x-2)+3>0$を満たす$x$の範囲は$2<x<[　]$である．

$2$つの放物線$y=x^2-4x+2$と$y=-x^2+6x-6$がある．

(1)これらの放物線の交点の座標は$([　],\ -1)$と$([　],\ [　])$である．
(2)これらの放物線によって囲まれた図形の面積$S_1$は$S_1=[　]$である．
(3)$x \geqq 0$の範囲で，これらの放物線と$y$軸によって囲まれた図形の面積$S_2$は$\displaystyle S_2=\frac{[　]}{3}$である．

中心が$\mathrm{O}$で半径$1$の円上の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対し
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4k \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad{（零ベクトル）} \]
を満たす実数$k$が存在するという．このとき，次の問に答えなさい．

(1)特に$k=0$のとき$\mathrm{AB}=[ア]$である．
以下$0<k$とする．
(2)$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく．$0<\theta<\pi$とするとき，$\displaystyle k=\frac{[イ]}{[ウ]} \cos \frac{\theta}{[エ]}$が成り立つ．
(3)$F=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2$を$k$の式で表すと
\[ F=[オカキ] k^2+[ク] k+[ケ] \]
である．
(4)$F$は$\displaystyle k=\frac{[コ]}{[サ]}$のとき最大値$[シ]$をとる．

円周を$8$等分する点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_8$からいくつかの点を無作為に選ぶ．どの点も選ばれる確率は等しいとするとき，次の問に答えなさい．

(1)異なる$2$点を選ぶとき，この$2$点を端点とする線分が円の直径となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が直角二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)異なる$4$点を選ぶとき，この$4$点からなる四角形が正方形となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
(4)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(5)異なる$5$点を選ぶとき，この$5$点からなる五角形を$F$とする．残りの$3$点のうち$2$点を端点とする線分がいずれも五角形$F$と交わる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

正の整数$m,\ n$が次の$2$つの条件を満たしている．
\[ (*) \quad \left\{ \begin{array}{l}
n \text{は} m \text{の倍数} \\
\text{等式} \displaystyle\frac{2n}{3}=\frac{n}{m}+1 \text{が成り立つ} \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$n$を$3$で割ったときの余りを求めよ．
(2)$(*)$を満たす組$(m,\ n)$をすべて求めよ．

対数関数
\[ f(x)=\log_2 x,\quad g(x)=\log_{\frac{1}{4}} x \]
に対し，$3$つの不等式
\[ x \geqq 1,\quad y \leqq f(x),\quad y \geqq g(x) \]
によって定められる$xy$平面上の領域を$D$とする．また，$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x,\ y$がともに整数であるものを``格子点''と呼ぶ．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)「$D$に属する格子点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x \leqq 8$であるもの」の総数を求めよ．
(3)「$D$に属する格子点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x \leqq 33,\ y \geqq 1$であるもの」の総数を求めよ．

次の関係を満たす関数を求めよ．ただし，$n$は$n \geqq 0$である整数とする．

(1)$f_0(x)=\sin x$，$\displaystyle f_{n+1}(x)=\sin x+\int_0^\pi \frac{2t}{\pi^2} f_n(t) \, dt$を満たす関数は$f_n(x)=[$2$]$である．
(2)$f_0(x)=x+1$，$x^2 f_{n+1}(x)=x^3+\int_0^x tf_n(t) \, dt$を満たす関数は$f_n(x)=[$3$]$である．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$3$の円を$C$とする．点$\mathrm{A}(5 \sqrt{2},\ 2 \sqrt{2})$を通り円$C$に接する直線で傾きが正のものを$\ell$とし，$C$と$\ell$の接点を$\mathrm{P}$とする．

(1)$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AP}$を求めよ．
(2)直線$\mathrm{OA}$と$x$軸のなす角を$\displaystyle \alpha \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$とし，$\angle \mathrm{OAP}=\beta$とおく．$\tan \alpha$，$\tan \beta$を求めよ．
(3)$\ell$の傾きを求めよ．