$m$を定数とする．曲線$y=x^3-3x$と直線$y=m$が異なる$3$個の共有点をもち，それらの$x$座標を$x_1,\ x_2,\ x_3$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$m$の範囲を求めよ．
(2)$S={x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2$の値を求めよ．
（注意） なお，$3$次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a,\ b,\ c,\ d$は実数，$a \neq 0$）の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とするとき，
\[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \]
であることを用いてもよい．

$0^\circ \leqq \theta \leqq 45^\circ$のとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{\cos^2 \theta}-2 \tan \theta-1$について，次の問いに答えなさい．

(1)この関数の最大値を求め，そのときの$\theta$も求めなさい．
(2)この関数の最小値を求め，そのときの$\theta$も求めなさい．

円$\mathrm{O}$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{AD}=8$，$\mathrm{BD}=7$のとき，以下の問いに答えなさい．
（図は省略）

(1)$\angle \mathrm{BAD}$と$\angle \mathrm{BCD}$の大きさを求めなさい．
(2)辺$\mathrm{CD}$の長さを求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積と$\triangle \mathrm{ADC}$の面積について，$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{ADC}}{\triangle \mathrm{ABC}}$の値を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)$1$以上$200$以下の自然数の中で，$2$または$5$で割り切れる数はいくつありますか．その個数を求めなさい．
(2)次の式を因数分解しなさい．
\[ 3(2x-3)^2-4(2x+1)+12 \]
(3)次の不等式を解きなさい．
\[ |x-2|>3x \]
(4)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$のとき，次の式の値を求めなさい．


(i) $x^2-y^2$
(ii) $x^3+y^3$

(5)$7$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$から異なる$5$個を取り出して$1$列に並べるとき，次の問いに答えなさい．

(i) $5$桁の整数は全部で何個できるか．その個数を求めなさい．
(ii) $(1)$で求めた$5$桁の整数のうち，奇数は何個できるか．その個数を求めなさい．

(6)$\displaystyle \left( 3x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の展開式における$x^4$の係数を求めなさい．

関数$f(x)=-x^2+4x-3$と$g(x)=kx-3$がある．ただし，$k$は定数で，$k<4$とする．また，座標平面上の放物線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標を，$a_1,\ a_2$とし（ただし，$a_1<a_2$とする），放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$の共有点の$x$座標を$b_1,\ b_2$とする（ただし，$b_1<b_2$とする）．以下の問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$の値を求めよ．
(2)点$(0,\ f(0))$における$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(3)次の図形の面積を求めよ．

\mon[$①$] 放物線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる図形
\mon[$②$] 放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$とで囲まれる図形

(4)次の定積分の値を求めよ．
\[ ① \int_{b_1}^{a_2} f(x) \, dx \qquad ② \int_{b_2}^{a_2} f(x) \, dx \]
(5)$\displaystyle \int_{b_2}^{a_2} f(x) \, dx=\frac{2}{3}$となるような$k$の値をすべて求めよ．

$2$次関数$\displaystyle f(x)=-x^2+2ax+\frac{1}{2}$について，以下の問に答えよ．ただし，$a \geqq 0$とする．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$a$の式で表せ．
(2)定義域$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$の式で表せ．

$f(x)=|x^2-2x-3|+|2x+3|$とする．次の条件のとき$f(x)$を簡単にしなさい．

(1)$\displaystyle x<-\frac{3}{2}$のとき，$f(x)=[　]$
(2)$\displaystyle -\frac{3}{2} \leqq x<-1$のとき，$f(x)=[　]$
(3)$-1 \leqq x<3$のとき，$f(x)=[　]$
(4)$3 \leqq x$のとき，$f(x)=[　]$

$0 \leqq \theta<\pi$のとき，方程式$\displaystyle 2 \sin^2 \left( \theta-\frac{\pi}{4} \right)+\sqrt{3} \cos \left( \theta-\frac{\pi}{4} \right)-2=0$を解け．

関数$\displaystyle y=-\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x^2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{x}$とおいて，関数$y$を$t$の関数に書き換えよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq x \leqq 2$における関数$y$の最大値，最小値を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$チームが試合をして，先に$3$勝したチームが優勝となる．$\mathrm{A}$が勝つ確率は$\displaystyle \frac{3}{5}$，$\mathrm{B}$が勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{5}$である．

(1)$\mathrm{A}$チームが，$1$試合目から$3$試合目までで$2$試合に勝ち，$4$試合目に勝って優勝する確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．