$n$を自然数とする．

(1)不等式
\[ \left( 1+\frac{2}{n} \right)^n \geqq 3 \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)不等式
\[ (n+1)^{n-1}(n+2)^n \geqq 3^n(n!)^2 \]
が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．

$\displaystyle f(x)=x^2-\frac{4}{5}$とおく．

(1)$2$次方程式$f(x)=x$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)$f(f(\alpha))$の値を求めよ．
(3)関数$f(f(x))$を求めよ．
(4)方程式$f(f(x))=x$を解け．

点$\mathrm{O}$を中心とし，長さ$2r$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円の周上を動く点$\mathrm{P}$がある．$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$S_1$，扇形$\mathrm{OPB}$の面積を$S_2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{PAB}=\theta (0<\theta<\frac{\pi}{2})$とするとき，$S_1$と$S_2$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が$\mathrm{B}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の極限値を求めよ．

コインを投げ，点$\mathrm{P}$を次の規則によって正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上を動かす．点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にあるときは，表が出たら$\mathrm{B}$に動かし，裏が出たら$\mathrm{C}$に動かす．$\mathrm{B}$にあるときは，表が出たら$\mathrm{C}$に動かし，裏が出たら$\mathrm{A}$に動かす．$\mathrm{C}$にあるときは，表が出たら$\mathrm{A}$に動かし，裏が出たら$\mathrm{B}$に動かす．

はじめに点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$にあるとし，コインを$n$回投げた後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$，$\mathrm{B}$にある確率を$b_n$，$\mathrm{C}$にある確率を$c_n$とする．

(1)$a_1=0$，$\displaystyle b_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle c_1=\frac{1}{2}$である．$n=2,\ 3,\ 4$に対して，$a_n,\ b_n,\ c_n$を求めよ．
(2)次の問いに答えよ．

(i) $a_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ．
(ii) $b_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ．
(iii) $c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ．

(3)$b_n=c_n$であることを示せ．
(4)$a_n$を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$で，辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{DE}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．ただし，$0<t<1$とする．

(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)内積$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$，$\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2} \cdot \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$の値を求めよ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{OF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$t$の式で表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$が垂直になるように$t$の値を定めよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$\displaystyle \frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}$より，
\[ \cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$①$]}+\sqrt{[$②$]}}{4} \]
である．ただし，$[$①$]$と$[$②$]$は整数であり，$[$①$]<[$②$]$とする．
(2)$0<\theta<\pi$かつ
\[ \cos \theta=\frac{\sqrt{[$①$]}-\sqrt{[$②$]}}{4} \]
であるとき，$\theta=[$③$]$である．
(3)適当な整数$a,\ b$に対し，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{12}$は$4$次方程式
\[ ax^4+bx^2+1=0 \]
の解となる．このとき，$a=[$④$]$，$b=[$⑤$]$である．

$f(x)=2x+3+|x|$と$g(x)=ax^2+bx+c$とは次の$2$つの条件を満たす．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(i) $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフとは$x=-2$および$x=2$で交わる．
(ii) $y=g(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$において最大値をとる．

このとき，次の$[　]$を数値でうめよ．

(1)$a=[$①$]$，$b=[$②$]$，$c=[$③$]$である．
(2)$y=g(x)$のグラフの頂点の$y$座標は$[$④$]$である．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$とで囲まれた図形の面積は$[$⑤$]$である．

$a,\ b$を実数の定数とし，$3$つの行列
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
3 & -2 \\
a & 1
\end{array} \right),\quad R=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{rr}
5 & -4 \\
6 & -5
\end{array} \right),\quad Q=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle \frac{1}{2} & 0 \\
0 & b
\end{array} \right) \]
は$AR=QA$を満たしている．次の$[　]$をうめよ．

$AR=QA$を満たす$a$の値は$2$つある．そのうち，$A$が逆行列をもたないのは，$a=[$①$]$のときであり，このとき，$b=[$②$]$である．$A$が逆行列$A^{-1}$をもつのは，$a=[$③$]$のときであり，このとき，$A^{-1}=[$④$]$，$b=[$⑤$]$である．
$n$を$2$以上の自然数として，
\[ S_n=A+AR+AR^2+\cdots +AR^{n-1} \]
とおく．$AR=QA$であるから，$S_n$は実数$x_n,\ y_n$を用いて
\[ S_n=\left( \begin{array}{cc}
x_n & 0 \\
0 & y_n
\end{array} \right) A \]
と表される．
$a=[$③$]$のときは，$x_n=[$⑥$]$，$y_n=[$④chi$]$である．したがって，$E$を単位行列として，
\[ E+R+R^2+\cdots +R^{n-1}=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right) \]
とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n=[$\maruhachi$]$である．

数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は，漸化式
\[ (n+3)a_{n+1}-(2n+4)a_n+(n+1)a_{n-1}=0 \quad (n \geqq 2) \]
を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)$b_n=a_{n+1}-a_n$とおく．$b_n$を$b_{n-1} (n \geqq 2)$で表せ．
(2)$b_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle a_1=\frac{1}{3},\ a_2=\frac{1}{2}$であるとき，$a_n$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$a_n$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n)^n$を求めよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)実数$x,\ y,\ z$が$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{4}=\frac{z+3x}{10}$を満たしている．$x^3+y^3+z^3=-36$が成り立つのは，
\[ \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{4}=\frac{z+3x}{10} \]
の値が$[$①$]$のときである．

(2)$\displaystyle x-y=\frac{\pi}{3}$であるとき，$\displaystyle \frac{\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y}$の値は$[$②$]$である．

(3)座標空間における$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$\ell$上の点$\mathrm{P}$において，原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$を結ぶ直線が直線$\ell$と垂直に交わるとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標は$[$③$]$である．
(4)連立方程式$\left\{ \begin{array}{l}
4(\log_2x)^2+2 \log_2y=1 \\
x^2y=2
\end{array} \right.$を解くと，$x=[$④$]$，$y=[$⑤$]$である．
(5)$2$桁の自然数を$N$とし，$N$の$1$の位と$10$の位の$2$つの数の和を$T$とする．$\displaystyle \frac{N}{T}$の最小値は$[$⑥$]$である．