$a,\ b$を実数の定数とする．$x$と$y$についての連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y=|x-1|-|x-2| \\
y=ax^2+bx
\end{array} \right. \]
について以下の問に答えよ．

(1)$a=0$，$b=0$のとき，解の組は$\displaystyle (x,\ y)=\left( \frac{[ア]}{[イ]},\ [ウ] \right)$である．
(2)$a=0$のとき連立方程式の解の組$(x,\ y)$が$3$個あるのは，$\displaystyle [エ]<b<\frac{[オ]}{[カ]}$のときである．
(3)$b=0$のとき連立方程式の解の組$(x,\ y)$が$2$個あるのは，$a<[キ]$または$\displaystyle [ク]<a<\frac{[ケ]}{[コ]}$のときである．

$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{BAC}$の外角の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\angle \mathrm{APQ}=\theta$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{BC}=\sqrt{[サ]}$である．
(2)$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{[シ] \sqrt{[ス]}}{[セ]}$，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{[ソタ] \sqrt{[チ]}}{[ツ]}$であるから，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[テト]}}{[ナニ]}$である．

$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，円に内接している．小さい方の弧$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{P}$を，$\displaystyle \angle \mathrm{ABP}=\frac{\pi}{6}$となるようにとるとき，以下の問に答えよ．

(1)この外接円の面積は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]} \pi$である．
(2)線分$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，四角形$\mathrm{BCDQ}$の面積は，$\displaystyle \frac{[ノ]-\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積は，$\displaystyle \frac{[フ]+\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$である．

以下の計算をせよ．

(1)$\log_{10}50^{6-\log_2 1024}=[マ] \log_{10}2-[ミ]$
(2)$\sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{-250}-\sqrt[3]{-16}=[ム]$
(3)$a$は正の実数とする．$\displaystyle a^x-\frac{1}{a^x}=\sqrt{5}$のとき$\displaystyle a^x+\frac{1}{a^x}=[メ]$である．

$\angle \mathrm{B}=60^\circ$，$\angle \mathrm{C}=45^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径が$2$のとき，以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{AC}=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)加法定理を利用して$\sin 75^\circ$の値を求めると，$\displaystyle \sin 75^\circ=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[オ]+\sqrt{[カ]}$である．

$0 \leqq \theta<\pi$のとき，$\theta$の不等式を解け．

(1)$|\sin \theta|-|\cos \theta|>0$の解は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}\pi<\theta<\frac{[タ]}{[チ]}\pi$である．

(2)$\cos 3\theta+\cos \theta<0$の解は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}\pi<\theta<\frac{[ト]}{[ナ]}\pi,\ \frac{[ニ]}{[ヌ]}\pi<\theta<\pi$である．

$xy$平面上に次に示す，$C$と$\ell$がある．
\[ \begin{array}{l}
C:y=|x^2-4| \\
\ell:y=2x+4
\end{array} \]
このとき以下の問に答えよ．

(1)$C$と$\ell$の交点は$x$座標の小さい順に
\[ ([ネノ],\ [ハ])$，$([ヒ],\ [フ])$，$([ヘ],\ [ホマ]) \]
である．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[ミム]}{[メ]}$である．

次の空欄ア～セに当てはまる数を記入せよ．

(1)$(x+1)^5$の$x^3$の係数は$[ア]$である．
(2)中心を$\mathrm{O}$とする円の円周上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{AB}=3$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$の内積は，$[イ]$である．
(3)$y=x^2+px+q (pq \neq 0)$のグラフが点$(1,\ 1)$を通り，$x$軸に接するとき，$p=[ウ]$，$q=[エ]$である．
(4)$120$人の学生の通学手段について調査したところ，電車を利用する学生が$83$人，バスを利用する学生が$48$人，電車もバスも利用しない学生が$28$人であった．電車とバスの両方を利用する学生は$[オ]$人である．
(5)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$枚のカードをよくきって，$6$枚を$1$列に並べるとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$[カ]$である．
(6)$2$次方程式$x^2-4x-2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}$と$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}$を解とする$2$次方程式を$x^2+px+q=0$とするとき，$p=[キ]$，$q=[ク]$である．
(7)方程式$\log_2 \sqrt[3]{x}-\log_4 4x^3+8=0$の解は$x=[ケ]$である．
(8)$x+x^{-1}=7$のとき，$x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}$は$[コ]$である．ただし，$x>0$とする．
(9)$100$以下の自然数の中で，$4$で割ると$1$余る数の総和は$[サ]$である．
\mon $f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．$f^\prime(x)=3x^2-4x-1$，$f(1)=0$を満たすとき，$f(x)$を$f(x)=x^3+px^2+qx+r$とおくと，$p=[シ]$，$q=[ス]$，$r=[セ]$である．

座標平面上の放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$について，その頂点を$\mathrm{O}$とし，この放物線上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．また$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は頂点$\mathrm{O}$と異なる点で，$\angle \mathrm{AOB}$が直角になるものとする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とし，$a+b=t$として，次の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{AOB}$が直角となる条件を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$t$を用いて直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(3)頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$におろした垂線が，直線$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{H}$とするとき，$t$を用いて直線$\mathrm{OH}$の方程式を求めよ．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が放物線上を動くとき，$t$を用いて点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

次の空欄ア～サに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$つの異なる$2$次方程式$x^2+3px+4=0$，$x^2+3x+4p=0$が共通の実数解を持つとき，$p$の値は$[ア]$である．ただし，$p \neq 1$とする．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$，$\displaystyle \cos C=\frac{1}{3}$であるとき，$\sin A$の値は$[イ]$である．
(3)不等式$|2x|+|x-4|<6$を解くと，$[ウ]$となる．
(4)実数$x,\ y$が$(3+2i)x+(1-i)y+13+2i=0$を満たすとき，$x=[エ]$，$y=[オ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(5)点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=4$上を動くとき，点$\mathrm{P}(3,\ 0)$と点$\mathrm{Q}$の中点の軌跡の方程式は$[カ]$である．
(6)$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{5}$のとき，$\tan \theta=[キ]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(7)$a=\log_{10}2$，$b=\log_{10}3$とするとき，$\displaystyle \log_{100}\frac{125}{9}$を$a,\ b$を用いて表すと，$[ク]$となる．
(8)等式$\displaystyle f(x)=x^2+4x-\int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は，$[ケ]$である．
(9)数列$2,\ 4,\ 9,\ 17,\ 28,\ 42,\ \cdots$の第$n$項を$n$を用いて表すと，$[コ]$となる．
\mon 座標空間上に$3$つの点，$\mathrm{A}(1,\ 3,\ -1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{C}(2,\ 0,\ 1)$をとるとき，三角形$\mathrm{ABC}$の重心の座標は$[サ]$である．