$2$つの関数
\[ f(x)=2e^{-x} |\sin x|,\quad g(x)=\sqrt{2}e^{-x} \]
を考える．方程式$f(x)-g(x)=0 (x \geqq 0)$の解を小さいものから順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．

(1)次の$[さ]$から$[す]$にあてはまるものを記入せよ．

(i) $x_k=[さ] (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(ii) $a,\ b$を定数とする．
\[ \frac{d}{dx} \{e^{-x}(a \sin x+b \cos x)\}=2e^{-x} \sin x \]
が成り立つのは，$a=[し]$，$b=[す]$のときである．

(2)$\displaystyle S_n=\int_{x_{2n-1}}^{x_{2n}} (f(x)-g(x)) \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．以下の解答は途中経過も書くこと．

(i) $S_1$を求めよ．
(ii) $S_n (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ．
(iii) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，各辺の長さをそれぞれ$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{AC}=y$，$\mathrm{BC}=z$とおき，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．また，$x,\ y,\ z$は
\[ x+y+z=a,\quad xy=z \]
をみたすものとする．ただし，$a$は正の実数である．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\cos \theta$を$a$と$z$の式で表せ．
(2)$x+y$と$xy$をそれぞれ$a$と$\cos \theta$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，$a$のとり得る値の最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y,\ z$を求めよ．

座標平面上の$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$，$\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$を，それぞれ$C_1$，$C_2$とする．$0$以上の実数$t$に対して，$x$座標が$t$である点における$C_1$の接線を$\ell_1$，$x$座標が$t$である点における$C_2$の接線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\ell_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_2$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．$0$以上の実数$t$を変化させるとき，$S(t)$の最大値を求めよ．また最大値を与える$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S(t)$に対して，定積分$\displaystyle \int_0^2 S(t) \, dt$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$(ⅰ)$～$(ⅲ)$のそれぞれの場合について，$3$つの実数$A,\ B,\ C$の大小関係を，下の選択肢から選べ．

(i) $A=\sin 1^\circ$，$B=\tan 1^\circ$，$C=1-\cos 2^\circ$
(ii) $A=\comb{150}{80}$，$B=\comb{150}{81}$，$C=\comb{151}{81}$

(iii) $\displaystyle A=\frac{10}{\pi}$，$B=\sqrt{10}$，$\displaystyle C=\frac{1}{\tan 15^\circ}$


選択肢： \quad $(\mathrm{a}) A>B>C \qquad (\mathrm{b}) A>C>B \qquad (\mathrm{c}) B>A>C$
\qquad\qquad \;\;\; $(\mathrm{d}) B>C>A \qquad (\mathrm{e}) C>A>B \qquad (\mathrm{f}) C>B>A$

(2)$\tan \alpha=-\sqrt{7} (0^\circ<\alpha<180^\circ)$のとき
\[ \cos \alpha=\frac{[ア] \sqrt{[イ]}}{[ウ]} \]
である．
(3)$a,\ b$は自然数で，$\displaystyle \frac{a^2}{b}$の整数部分は$6$桁であり，$\displaystyle \frac{b^2}{a}$は小数第$3$位にはじめて$0$でない数字が現われる$1$より小さい数である．このとき，$a$は$[エ]$桁または$[オ]$桁，$b$は$[カ]$桁である．ただし$[エ]<[オ]$である．

実数$k$に対し，円$C:x^2+y^2+(k-1)x-ky-1=0$を考える．

(1)円$C$の半径が最も小さくなるのは$\displaystyle k=\frac{[キ]}{[ク]}$のときであり，その半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(2)円$C$の中心の軌跡は
\[ [シ]x+[ス]y+1=0 \]
である．
(3)任意の実数$k$に対し，円$C$は必ず
\[ \left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ \frac{[タ]}{[チ]} \right),\quad \left( [ツ],\ [テ] \right) \]
を通る．ただし$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}<[ツ]$である．
$k=3$のとき，この$2$点における円の接線の交点は
\[ \left( \frac{[ト]}{[ナ]},\ \frac{[ニ]}{[ヌ]} \right) \]
である．

以下の問で，各人はじゃんけんでグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．

(1)$3$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人が勝ち$2$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]}$，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)$3$人でじゃんけんをする．負けた人がいれば，じゃんけんから抜け，$1$人の勝者が決まるか，じゃんけんの回数が$3$回になるまで繰り返す．じゃんけんの回数が$2$回以内で$1$人の勝者が決まる確率は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$，ちょうど$3$回で$1$人の勝者が決まる確率は$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ]}$である．
(3)$4$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人が勝ち$3$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$，$2$人が勝ち$2$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]}$，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]}$である．

数列$\{a_n\}$は次のように定められている．初項$a_1=0$であり，すべての自然数$n$に対して
\[ a_{n+1}=-a_n+\frac{1+(-1)^{n+1}}{2} \]
が成り立つ．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)$c$を定数として$b_n=(-1)^n(a_n+c)$とおく．$\{b_n\}$が等差数列になるためには$c$をどのように定めればよいか．$c$の値を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を$n$を用いて表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の第$2n$項までの$2$乗の和$S_{2n}={a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_{2n}}^2$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{X}$大学には$5$つの学部があり，全ての学部で入学試験を行っている．次の$7$つの命題$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中で，お互いに否定命題となっている全ての組を以下の選択肢から選べ．もし，否定命題となっている組で選択肢にないものが存在するときは，$z$もマークせよ．

$(\mathrm{A})$ $\mathrm{X}$大学のある学部の入学試験科目には，数学がある．
$(\mathrm{B})$ $\mathrm{X}$大学の学部の中で，入学試験科目に数学があるのはただ一つである．
$(\mathrm{C})$ $\mathrm{X}$大学の全ての学部の入学試験科目には，数学がある．
$(\mathrm{D})$ $\mathrm{X}$大学には，入学試験科目に数学がない学部がある．
$(\mathrm{E})$ $\mathrm{X}$大学の全ての学部の入学試験科目には，数学がない．
$(\mathrm{F})$ $\mathrm{X}$大学の学部の中で，入学試験科目に数学がないのはただ一つである．
$(\mathrm{G})$ $\mathrm{X}$大学には，入学試験科目に数学がある学部とない学部の両方がある．

選択肢：
\[ \begin{array}{rlp{1mm}rlp{1mm}rlp{1mm}rl}
1. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{C}) & & 2. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{D}) & & 3. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{E}) & & 4. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{G}) \\
5. & (\mathrm{B}) \text{と} (\mathrm{F}) & & 6. & (\mathrm{B}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 7. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{D}) & & 8. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{E}) \\
9. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 10. & (\mathrm{D}) \text{と} (\mathrm{E}) & & 11. & (\mathrm{D}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 12. & (\mathrm{E}) \text{と} (\mathrm{F})
\end{array} \]
(2)$f(0)=1$，$g(0)=2$を満たす$2$つの整式$f(x)$，$g(x)$に対して$p(x)=f(x)+g(x)$，$q(x)=f(x)g(x)$とおく．$\displaystyle \frac{d}{dx}p(x)=3$，$\displaystyle \frac{d}{dx}q(x)=4x+k$であるとき，$k=[ア]$または$[イ]$である．ただし$[ア]<[イ]$である．
(3)方程式$4^{x+1}+3 \cdot 2^x-1=0$の解は$x=[ウ]$である．

座標平面において，円$A$
\[ A:(x-4)^2+(y+1)^2=9 \]
および放物線$B$
\[ B:y=\frac{1}{4}x^2+1 \]
を考える．

(1)$m$を実数とすると，直線$\ell:y=mx+m-1$は$m$の値によらずに点$([エ],\ [オ])$を通る．
(2)$\ell$と円$A$との共有点の個数を$n_a$，$\ell$と放物線$B$との共有点の個数を$n_b$とする．$n_a+n_b=2$となるのは，$m<[カ]$または$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}<m<\frac{[ケ]}{[コ]}$または$[サ]<m$のときである．
(3)$m=[カ]$のとき$\ell$と$B$とのただ一つの共有点は$\mathrm{P}([シ],\ [ス])$であり，$m=[サ]$のとき$\ell$と$B$とのただ一つの共有点は$\mathrm{Q}([セ],\ [ソ])$である．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線の方程式は$\displaystyle y=\frac{[タ]}{[チ]}x+[ツ]$であり，直線$\mathrm{PQ}$と放物線$B$とで囲まれた図形の面積は$[テ]$である．

次の空欄ア～ソに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$x$が$0<x<1$と$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=3$を満たすとき，$x^3$の値は$[ア]$である．
(2)不等式$\displaystyle \log_5 \left( \frac{x+1}{2} \right)+\log_5(x-4)<2$の解は$[イ]<x<[ウ]$である．
(3)$\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta>1 (-\pi<\theta<\pi)$を満たす$\theta$の範囲は，$[エ]<\theta<[オ]$である．
(4)$3$次方程式$x^3+3x^2-24x-a=0$が，異なる$3$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲は，$[カ]<a<[キ]$である．
(5)積分$\displaystyle \int_{-3}^3 |x^2-1| \, dx$の値は$[ク]$である．
(6)$2$次不等式$ax^2-4x+b<0$の解が$-3<x<5$であるとき，定数$a$は$[ケ]$であり，定数$b$は$[コ]$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ -1,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x-2,\ -x,\ 4)$のなす角が$30^\circ$のとき，$x$の値は$[サ]$である．
(8)点$(x,\ y)$が直線$2x+3y=4$の上を動くとする．$4^x+8^y$が最小値をとるとき，$x,\ y$の値は$x=[シ]$，$y=[ス]$である．
(9)三角形$\mathrm{ABC}$の$\mathrm{A}$における角度は$45^\circ$，$\mathrm{C}$における角度は$75^\circ$，辺$\mathrm{AC}$の長さが$6$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$[セ]$である．
\mon $0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字から選んで$4$桁の自然数を作るとき，同じ数字を何回用いてもよいとすると，$2$の倍数でない自然数は$[ソ]$個できる．