$n$を整数とし，$x$についての$3$次式$P(x)=x(x-1)(x-2)-n(n-1)(n-2)$を考える．

(1)$P(x)$を$x-n$で割ったときの商と余りを求めよ．
(2)$n=4$のときの方程式$P(x)=0$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．このとき$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$の値を求めよ．
(3)方程式$P(x)=0$の解がすべて実数となるとき，整数$n$の値をすべて求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$a,\ b$を正の定数とする．関数
\[ f(x)=a(1+\cos x)+b(3+\sin x) \quad (0 \leqq x<2\pi) \]
の最大値が$3$で最小値が$1$であるならば，$a+3b=[ア]$，$a=[イ]$である．
(2)$n$を自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{n^2-3 \sqrt{2}n+5}$を最大にする$n$の値は$[ウ]$であり，そのときの最大値は分母を有理化すると$[エ]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)$(a^2+b+2)^8$を展開したときの$a^6b^2$の係数を求めなさい．

(2)等式$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-a}{x-1}=b$を満たす実数$a,\ b$を求めなさい．

(3)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{(\log x)^2}{x} \, dx$を求めなさい．

三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=\sqrt{10}$，$\mathrm{OB}=1$，$\mathrm{AB}=\sqrt{5}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．$n$を整数とし，$L={|\displaystyle \frac{1|{4} \overrightarrow{a}+n \overrightarrow{b}}}^2$を考える．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めなさい．
(2)$L$を$n$で表しなさい．
(3)$L$を最小にする整数$n$を求めなさい．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[イ]$である．
(2)$x^2-x+y-6=0$，$y \geqq 0$のとき，$6x+y$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(3)$a>0$とする．円$x^2+y^2-2ax-4ay+4a^2-1=0$が$x$軸と接するとき，$a=[オ]$であり，直線$x+y-1=0$と接するとき，$a=[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2-2$と直線$\ell:y=x$がある．$C$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり，$C$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である．

関数$\displaystyle y=2 \sin 2\theta+3 \sin^2 \theta+1+2 \cos^2 \frac{\theta}{2}+2 \sin \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$について，次の問に答えよ．なお，$t=2 \sin \theta+\cos \theta$とする．

(1)$y$を$t$を用いて表せ．
(2)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$y$の最小値を求めよ．

円$C:x^2+y^2=1$上を動く点$\mathrm{P}$は，時刻$0$のときに点$\mathrm{A}(1,\ 0)$を出発して，時刻$t$のとき，弧$\koa{$\mathrm{AP}$}$の長さが$t$となるように反時計回りに動く．また，円$D:x^2+(y-1)^2=1$上を動く点$\mathrm{Q}$は，時刻$0$のときに点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を出発して，時刻$t$のとき，弧$\koa{$\mathrm{OQ}$}$の長さが$t$となるように反時計回りに動く．時刻$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$のとき，以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$のときの線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めなさい．また，そのときの線分$\mathrm{PQ}$を図示しなさい．

空欄$[オ]$，$[カ]$，$[キ]$に当てはまるものを解答群の中から選び，それ以外の空欄には，当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．

座標平面上に$3$つの放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=-x^2-8x-8$，$C_3:y=-x^2+ax+b$がある．$C_1$と$C_3$は$t>0$の範囲にただ$1$つの共有点$(t,\ t^2)$を持ち，直線$\ell$は点$\mathrm{P}$で$C_2$に接し，なおかつ点$\mathrm{Q}$で$C_3$に接しているとする．次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の共有点は$\displaystyle \left( -[ア],\ [イ] \right)$である．また，$C_1$と$C_3$もただ$1$つの共有点を持つことから$a=[ウ]t$，$b=-[エ]t^2$である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha$，$\beta$とする．$\ell$は点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線および点$\mathrm{Q}$における$C_3$の接線に等しい．これら$2$つの接線の傾きおよび$y$軸との交点がともに等しいことから
\[ \beta-\alpha=[オ],\quad \beta^2-\alpha^2=[カ] \]
が成り立つ．したがって，$\beta+\alpha=[キ]$である．これより，直線$\ell$の方程式は
\[ y=\left( t-[ク] \right) x+\frac{t^2+[ケコ]t+[サ]}{[シ]} \]
である．
(3)$C_3$と$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S_1$，$C_1$と直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を$S_2$とすると，


$\displaystyle S_1=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot [ソ]t^3$

$\displaystyle S_2=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot \left( t+[タ] \right)^3$


である．$S_1-S_2$は$\displaystyle t=\frac{[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}}{[ト]}$のときに最小値をとる．

オ，カ，キの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\nagamarurei t+2 & \nagamaruichi t-2 & \nagamaruni 2t+4 & \nagamarusan t+\sqrt{2} & \nagamarushi t-\sqrt{2} \\
\nagamarugo t^2-2 & \nagamaruroku t^2-4 & \nagamarushichi t^2-8 & \nagamaruhachi 2t^2-4 & \nagamarukyu 2t^2-8
\end{array} \]
（図は省略）

以下の$[あ]$から$[お]$にあてはまるものを答えよ．

座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$をとり，$\theta=\angle \mathrm{ABC}$とおく．ただし，$-1<b<2$とする．
(1)直線$\mathrm{AB}$の傾きと直線$\mathrm{BC}$の傾きを$b$を用いて表すと，それぞれ$[あ]$，$[い]$である．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$となるのは，$b=[う]$のときである．
(3)$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \theta$を$b$で表すと，$[え]$である．
(4)$b$が$-1<b<2$の範囲を動くとき，$\theta$の値が最小となるのは，$b=[お]$のときである．

以下の$[か]$から$[こ]$にあてはまるものを答えよ．

$a,\ b$を定数とするとき，$3$次の整式$f(x)=x^3+ax^2+bx-4$は，$x-2$で割ると$-2$余り，$2x-1$で割ると$\displaystyle -\frac{7}{8}$余るという．

(1)$a=[か]$，$b=[き]$である．
(2)方程式$f(x)=0$の解をすべて求めると，$[く]$である．
(3)方程式$f(x)=c$が異なる$3$つの実数解を持つような実数$c$の値の範囲は，$[け]$である．
(4)関数$f(x)$の区間$d \leqq x \leqq d+3$における最大値が$0$であるような実数$d$の値の範囲は，$[こ]$である．