関数
\[ f(x)=\frac{1}{2}x+\int_0^x (t-x) \cos t \, dt \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
について以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^x t \cos t \, dt$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値を求めよ．

曲線$C:y=2x^3-9x^2-60x+140$，直線$L:y=k$（$k$は実数）について考える．曲線$C$と直線$L$は，$k=a$および$k=b$（$a<b$）（$a,\ b$ともに実数）のとき，それぞれ，$1$点で接し，その接点とは異なる$1$点で，交わるものとする．$|\displaystyle \frac{b|{16}+\frac{a}{27}}$の値を求めよ．

放物線$C:f(x)=-x^2+x$について考える．$C$上の$2$点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ f(a))$（$a>0$，$a$は実数）とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$が曲線$\mathrm{OA}$上を動くとき，三角形$\mathrm{OPA}$の面積の最大値は，$\displaystyle \frac{a^3}{M}$となる．$M$の値を求めよ．（ただし，$0<t<a$，$t$は実数）

角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$を満たすとき，次の$\theta$の関数を考える．
\[ y=\sin 3\theta +6 \cos 2\theta-6 \sin^2 \frac{\theta}{2}-3 \cos \theta+12 \sin \theta \]
以下の問に答えなさい．空欄内の各文字に当てはまる数字を答えよ．

(1)$\displaystyle x=\sin \theta$とおくとき，$y$を$x$の式で表すと
\[ y=-[ケ]x^3-[コサ]x^2+[シス]x+[セ] \]
となる．
(2)(1)の$3$次関数を利用すると，$y$の最大値は$[ソ]$であり，最小値は$[タ]$であることが分かる．

次の連立不等式で表される領域$D$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right)^2+y^2 \leqq 1 \\
\displaystyle y \leqq -2x+\frac{3}{2} \\
\displaystyle y \leqq x+\frac{7}{10}
\end{array} \right. \]
以下の問に答えなさい．

(1)$y$切片が$k$で，直線$\displaystyle y=-2x+\frac{3}{2}$に垂直な直線を$\ell$とする．直線$\ell$が領域$D$と共有点を持つとき，$k$のとる範囲は，
\[ -\frac{[チ]}{[ツ]}-\frac{\sqrt{[テ]}}{[ト]} \leqq k \leqq \frac{[ナ]}{[ニ]} \]
である．
(2)直線$\ell$が領域$D$で切り取られる線分の長さを$L$とおく．$L$が最大となるのは，$\displaystyle k=-\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のときであり，そのとき，$\displaystyle L=[ノ]+\frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒフ]}$となる．

平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AD}$の長さは，それぞれ$3,\ 4$で，$\angle \mathrm{ABC}$は$60^\circ$であるとする．辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とおく．また，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{CM}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$とおく．以下の問に答えなさい．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ヘ]}{[ホ]} \overrightarrow{a}+\frac{[マ]}{[ミ]} \overrightarrow{b}$と表せる．また，$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{[ム] \sqrt{[メ]}}{[モ]}$となる．

(2)$\displaystyle \cos (\angle \mathrm{PAQ})=\frac{[ヤユ] \sqrt{[ヨ]}}{[ラリ]}$となる．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ルレロ]}}{[ワヲ]}$である．
(4)三角形$\mathrm{ABP}$の外心を$\mathrm{O}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表しなさい．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

(1)大小$2$つのサイコロを振り，出た目をそれぞれ$a,\ b$とする．$ab \geqq 20$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$ab$が$3$で割り切れる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{C}=105^\circ$とする．
\[ \cos 105^\circ=\frac{\sqrt{[オ]}-\sqrt{[カ]}}{[キ]} \]
である．また，$\mathrm{AB}=[ク]+\sqrt{[ケ]}$であり，$\angle \mathrm{A}=[コサ]^\circ$である．
(3)$a,\ b$を正の実数で，$a \neq 1,\ b \neq 1$とする．このとき

$(\log_{a^2}b+\log_b a^3)(\log_{a^3}b+\log_{b^2}a)$

$\displaystyle =\frac{[シ]}{[ス]} \cdot (\log_a b)^2+\frac{[セ]}{[ソ]} \cdot (\log_b a)^2+\frac{[タ]}{[チ]}$

である．

次の空欄$[ア]$から$[キ]$に当てはまるものを入れよ．

行列$M$を$M=\left( \begin{array}{rr}
-1 & -1 \\
1 & -1
\end{array} \right)$で定める．このとき
\[ M=\sqrt{2} \left( \begin{array}{cc}
\cos \frac{[ア]}{[イ]} \pi & -\sin \frac{[ア]}{[イ]} \pi \\ \\
\sin \frac{[ア]}{[イ]} \pi & \cos \frac{[ア]}{[イ]} \pi
\end{array} \right) \]
である．
次に$\left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right)=M^n \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおき，点$(a_n,\ b_n)$を$\mathrm{P}_n$で表す．このとき点$\mathrm{P}_n$と原点$\mathrm{O}$との距離は$[ウ]^{\frac{n}{2}}$である．またベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}_{n+2}}$のなす角は$\displaystyle \theta=\frac{[エ]}{[オ]}\pi$である．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
$3$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{P}_{n+2}$を頂点とする三角形の面積は$[カ] \times [キ]^{n-1}$である．
ただし
\[ \left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
\cos \beta & -\sin \beta \\
\sin \beta & \cos \beta
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
\cos (\alpha+\beta) & -\sin (\alpha+\beta) \\
\sin (\alpha+\beta) & \cos (\alpha+\beta)
\end{array} \right) \]
となることは使ってよい．

次の空欄$[ア]$から$[オ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．

関数$f(t)$は$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$において微分可能で$f(t)>0$かつ$f^\prime(t)>0$をみたすとする．また$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)=2$とする．
媒介変数表示$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
x=f(t) \cos t \\
y=f(t) \sin t
\end{array} \right. \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$により定まる曲線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(f(t) \cos t,\ f(t) \sin t)$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{A}(a(t),\ 0)$とすれば
\[ a(t)=\frac{(f(t))^2}{f^\prime(t) [ア]+f(t) [イ]} \]
となる．$\mathrm{O}$を原点とするとき，すべての$t$に対し$\mathrm{OP}=\mathrm{OA}$であれば$f$は
\[ f^\prime(t) [ア]+f(t) [ウ]=0 \]
をみたす．この式の両辺に$\cos t+1$をかけて整理すると
\[ \frac{d}{dt} \left( f(t) [エ] \right)=0 \]
となり，
\[ f(t)=[オ] [エ]^{-1} \]
が得られる．

次の空欄$[ア]$から$[ス]$に当てはまるものを入れよ．ただし連続した空欄$[シス]$は$2$桁の数字をあらわす．

$a$を正の定数とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(t,\ t^2)$の間の距離を$L(t)$とする．$L(t)$は$\displaystyle a \leqq \frac{1}{2}$の場合は$t=[ア]$で最小値$[イ]$をとり，$\displaystyle a>\frac{1}{2}$の場合は$|t|=[ウ]$のとき最小値$[エ]$をとる．
$\mathrm{A}(0,\ a)$を中心とする半径$1$の円$C_1$と放物線$C_2:y=x^2$が$2$点で接しているとき$\displaystyle a=\frac{[オ]}{[カ]}$であり，接点の座標は
\[ \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right),\quad \left( -\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．このとき，円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形（下の図の灰色の部分）を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}\pi$である．
ただし，$2$つの曲線が共有点$\mathrm{P}$をもち，$\mathrm{P}$における$2$つの曲線の接線が一致す
るとき，これら$2$つの曲線は$\mathrm{P}$で接しているといい，$\mathrm{P}$を接点という．
（図は省略）