半径$1$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=\alpha$，$\angle \mathrm{B}=\beta$とし，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \sin \beta=\frac{1}{2}$とする．$\gamma$が$\gamma>0^\circ$かつ$\alpha+\beta+\gamma=90^\circ$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めよ．
(2)$\sin \gamma$と$\cos \gamma$の値をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

箱の中に白玉$7$個，赤玉$3$個が入っている．

(1)箱の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき，少なくとも$1$つ赤玉が含まれる確率を求めよ．
(2)箱の中から$r$個の玉を同時に取り出すとき，すべて白玉である確率を$r$の式で表せ．ただし，$2 \leqq r \leqq 10$とする．
(3)少なくとも$1$つ赤玉が含まれる確率を$\displaystyle \frac{9}{10}$以上とするためには，箱の中から少なくとも何個の玉を同時に取り出す必要があるか求めよ．

点$\mathrm{P}$を直線$\ell_1:y=x$上の点とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ$(-1,\ 0)$，$(0,\ 1)$とする．$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とする．また，$\ell_2$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$とする．

(1)$\ell_2$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．四角形$\mathrm{OPQR}$を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a$を用いて表せ．

$2$つの円$C_1:x^2+y^2-24x-10y+44=0$，$C_2:x^2+y^2-4x+10y+4=0$について考える．$C_1$と$C_2$の相異なる$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$としたとき，$\displaystyle \frac{L^2}{10}$の値を求めよ．

$72$のすべての正の約数の個数を$X$とする．$\displaystyle \frac{X}{2}$の値を求めよ．

$1$個のさいころを$3$回投げたとき，$1$回目，$2$回目，$3$回目に出た目の数をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．積$abc$が$3$の倍数となる確率を$m$，積$abc$が$5$の倍数となる確率を$n$としたとき，$\displaystyle \frac{91m}{38n}$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=x^2+2ax+b$を$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$+2$だけ平行移動すると，頂点の座標は$(3,\ 0)$となる．定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \cos A=\frac{\sqrt{21}}{7}$のとき，$\sin A$を求めよ．さらに，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=2$とするとき，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(3)$(x-1)^3-27$を因数分解せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{5}{x^2-x-6}-\frac{4}{x-3}$を簡単にせよ．

(2)$\displaystyle -3 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$のとき，関数$f(x)=-x^2-2x+9$の最大値と最小値を求めよ．

(3)$3$直線$\ell_1:5x+y-23=0$，$\ell_2:3x-y-1=0$，$\ell_3:x-3y+5=0$があり，$\ell_1$と$\ell_2$，$\ell_2$と$\ell_3$，$\ell_3$と$\ell_1$の交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とするとき，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標と$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．

$b$を$1$でない正の実数とし，$x$の方程式
\[ 6 \log_bx+1=\frac{1}{\log_bx} \]
は$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつ．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\log_bx$の値を求めよ．
(2)$x$を$b$を用いて表せ．
(3)$\alpha\beta=4$となるような$b$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$において辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$k:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$の延長が線分$\mathrm{OC}$と交わる点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は正の実数とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OE}:\mathrm{EC}$を$k$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BCE}$の面積を$S$，三角形$\mathrm{ABD}$の面積を$T$とするとき，すべての$k$に対して，$\displaystyle \frac{S}{T}<2$であることを示せ．