$\displaystyle \frac{s}{2-3i}+\frac{t}{1-i}=1$（$s,\ t$は実数）を満たす$t$の値を求めよ．ただし，$i^2=-1$である．

関数$y=-9^{x+1}+3^{x+3}+2$（$0 \leqq x \leqq 3$，$x$は実数）の最大値を$M$とするとき，$\displaystyle \frac{89}{M}$の値を求めよ．

$x,\ y$は，$\displaystyle 0<x<\frac{1}{3}$，$\displaystyle 0<y<\frac{1}{3}$を満たす実数とする．$x=b$，$y=c$のとき，
\[ \begin{array}{l}
\log_xy+\log_yx=2 \\
2 \log_x \sin \{ \pi (x+y) \}=\log_x \sin (\pi y)+\log_y \cos (\pi x)
\end{array} \]
を満たす．$12b$の値を求めよ．

$\displaystyle \sin \theta -\cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{3} (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$のとき，$6(\sin \theta+\cos \theta)$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$a$，辺$\mathrm{AC}$を$b$，辺$\mathrm{AB}$を$c$とする．$b=2$，$c=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$のとき，$a^2$の値を求めよ．

$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$(\sin^3 \theta-\cos^3 \theta)^2$の値を$b$とする．$\displaystyle \frac{256b}{25}$の値を求めよ．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$について考える（$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とする）．四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は，$4 \sqrt{6}$である．辺$\mathrm{AB}$および辺$\mathrm{BC}$の長さが，それぞれ，$1$，$5$であり，$\displaystyle \cos \theta=-\frac{1}{5}$となるとき，辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．ただし，辺$\mathrm{CD}$の長さは辺$\mathrm{AD}$の長さより大きいものとする．

直線$x-4y+3=0$と直線$5x-3y-10=0$とのなす角を$\displaystyle \theta (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$とするとき，$(\sin \theta-\cos \theta)^2$の値を求めよ．

円$x^2+y^2+4x-6y-12=0$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，$y$軸との交点を$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さを$a$，線分$\mathrm{CD}$の長さを$b$とするとき，$\displaystyle \frac{b^2-a^2}{10}$の値を求めよ．

$a_1=a_2=1$である数列$\{a_n\}$は，すべての自然数$n$に対して$a_n \neq 0$であり，かつ$x$の$2$次方程式$a_nx^2-2a_{n+1}x+5a_{n+2}=0$が重解をもつ．$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$b_n$と$b_{n+1}$との関係式を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．