放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$を平行移動すると，$2$点$(0,\ 6),\ (2,\ 0)$を通るようになった．平行移動後の放物線の頂点の座標を求めよ．

$\displaystyle \left( \frac{3}{5} \right)^{50}$を小数で表すとき，小数第何位に初めて$0$でない数字が現れるか．ただし，$\log_{10}2 = 0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

数列$\{a_n\}$は，初項1，公差$\displaystyle \frac{5}{2}$の等差数列で，数列$\{b_n\}$は，初項2，公差$\displaystyle \frac{7}{4}$の等差数列である．このとき，次の設問に答えよ．

(1)ある$a_n$とある$b_m$が同じ値をとるものを小さい順に$c_1,\ c_2,\ c_3,\ \cdots$とする．このとき，最初からの3項$c_1,\ c_2,\ c_3$の値を求めよ．
(2)一般項$c_n$を$n$の式で表せ．

座標平面上の直線$\ell$を$y=2x$，直線$m$を$\displaystyle y=-\frac{x}{2}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点P$(x,\ y)$に対し，Pを通り$\ell$に垂直な直線と$\ell$との交点をQ$(x^\prime, y^\prime)$とする．また，Pを通り$m$に垂直な直線と$m$との交点をR$(x^{\prime\prime},\ y^{\prime\prime})$とする．このとき，
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right) =A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{c}
x^{\prime\prime} \\
y^{\prime\prime}
\end{array} \right) =B \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
が成り立つような行列$A,\ B$を求めよ．
(2)$A,\ B$を(1)で求めた行列とする．このとき，行列$C=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{14}{5} & -\displaystyle\frac{2}{5} \\ \\
-\displaystyle\frac{2}{5} & \displaystyle\frac{11}{5}
\end{array} \right)$に対して$C=\alpha A+\beta B$をみたす実数$\alpha,\ \beta$を求めよ．
(3)$n$を自然数とするとき，$C^n$を求めよ．

下記の空欄イ～ホにあてはまる数を記入せよ．

(1)方程式$3\cos^3 \theta-5 \cos^2 \theta-4 \cos \theta+4=0$，および不等式$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$をみたす$\theta$に対して，$\cos \theta=[イ]$である．
(2)公差$\displaystyle \frac{1}{5}$，初項$-8$の等差数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$を
\[ a_1 \;|\; a_2,\ a_3 \;|\; a_4,\ a_5,\ a_6 \;|\; a_7,\ a_8,\ a_9,\ a_{10} \;|\; \cdots \]
とグループ分けする．第$101$番目のグループに属する数の和は$[ロ]$である．
(3)空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ y,\ 1)$が与えられている．三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形になるのは$y=[ハ]$のときである．

(4)極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{x^2}$の値は$[ニ]$である．

(5)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$3$回以上連続して同じ目が出る確率は$[ホ]$である．

公正な硬貨$X$を$3$回投げる．「$1$回目に表が出る」という事象を$A$，「$3$回目に表が出る」という事象を$B$，「試行結果が裏→表の順序で出ることはない」という事象を$C$とする．このとき，
\[ P(A \cap C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]} \]
である．

次に，硬貨$X$が必ずしも公正でなく表の出る確率が$a (0<a<1)$，裏の出る確率が$1-a$であるとする．この場合の確率を$P_a$で表すとき，
\[ \frac{P_a(A)P_a(B)P_a(C)}{P_a(A \cap B \cap C)} \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．

ただし，$[セ]$，$[タ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$であるとき，$2 \cos^2 \theta+(\sin \theta+3 \cos \theta)^2$の最小値は$[ト]$で，最大値は$\sqrt{[ナ]}+[ニ]$である．

平面上の点$(x,\ y)$で，$\displaystyle \left( \frac{x}{3} \right)^{2n}+\left( \frac{y}{2} \right)^{2n}<1$を満たすような自然数$n$が存在するための必要十分条件は，$[ヌ]<x<[ネ]$かつ$[ノ]<y<[ハ]$である．

$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$のとき，$x^2+y^2-62$の値を求めよ．

$x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=3$（$x>0$，$x$は実数）のとき，$\displaystyle \frac{47}{2} \left( \frac{x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}}{x+x^{-1}} \right)$の値を求めよ．