「分数」について
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私立 青森中央学院大学 2011年 第3問$\displaystyle x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=3\ (x>0,\ x\text{は実数})$のとき，$\displaystyle \frac{47}{2}\left(\frac{x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}}{x+x^{-1}}\right)$の値を求めよ．
私立 青森中央学院大学 2011年 第4問$\displaystyle \frac{s}{2-3i}+\frac{t}{1-i}=1 \ (s,\ t \text{は実数})$を満たす$t$の値を求めよ．ただし，$i^2=-1$である．
私立 早稲田大学 2011年 第3問$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B} \displaystyle \biggl( 0,\ \frac{1}{2},\ 0 \biggr)$，$\mathrm{C} \displaystyle \biggl( 0,\ 0,\ \frac{1}{3} \biggr)$の定める平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすようにとり，点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろす．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{[ケ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[コ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[サ] \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[シ]} \]
となる．ただし，$[シ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{[ケ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[コ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[サ] \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[シ]} \]
となる．ただし，$[シ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．
私立 上智大学 2011年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \mathrm{BC}=4,\ \tan \frac{B}{2}=\frac{1}{3},\ \tan \frac{C}{2}=\frac{1}{5}$とする．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．
(2)$\displaystyle \sin B=\frac{[セ]}{[ソ]}, \sin C=\frac{[タ]}{[チ]}$である．
(3)$\displaystyle \mathrm{AB}=\frac{[ツ]}{[テ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナ]}$である．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．
(2)$\displaystyle \sin B=\frac{[セ]}{[ソ]}, \sin C=\frac{[タ]}{[チ]}$である．
(3)$\displaystyle \mathrm{AB}=\frac{[ツ]}{[テ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナ]}$である．
私立 上智大学 2011年 第3問$xyz$空間内の正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$はすべて原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$上にある．$\mathrm{A}$の座標は$(0,\ 0,\ 1)$であり，$\mathrm{B}$の$x$座標は正，$y$座標は$0$である．また，$\mathrm{C}$の$y$座標は$\mathrm{D}$の$y$座標より大きい．
(1)$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．
(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]}$である．
(3)$\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$[ホ]$である．
以後，四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す．
(4)$\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(5)$(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に，$\triangle \mathrm{ACD}$，$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$を定める．四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$，$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると，$V$の表面積は$[ム]$であり，$V$の体積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である．
(1)$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．
(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]}$である．
(3)$\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$[ホ]$である．
以後，四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す．
(4)$\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(5)$(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に，$\triangle \mathrm{ACD}$，$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$を定める．四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$，$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると，$V$の表面積は$[ム]$であり，$V$の体積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である．
私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第2問不等式$\displaystyle -\sqrt{5} \leqq x-\frac{1}{x} \leqq \sqrt{5}$を解け．
私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第3問放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$を平行移動すると，$2$点$(0,\ 6),\ (2,\ 0)$を通るようになった．平行移動後の放物線の頂点の座標を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第5問大，中，小の3つのサイコロを投げたときに出る目を，それぞれ$X,\ Y,\ Z$とする．このとき，次の設問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{XY}{Z} = \frac{1}{2}$となる確率を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{XY}{Z} = 2$となる確率を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{XY}{Z} = \frac{1}{2}$となる確率を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{XY}{Z} = 2$となる確率を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第6問$0^\circ \leqq x \leqq 90^\circ$のとき，$\displaystyle \frac{2}{1+2\sin^2 x}+\frac{1}{1+\cos^2 x}$の最大値と最小値，およびそれらの値をとるときの$x$の値を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第2問不等式$\displaystyle -\sqrt{5} \leqq x-\frac{1}{x} \leqq \sqrt{5}$を解け．