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私立 明治大学 2011年 第1問次の各設問の$[1]$から$[8]$までの空欄と$[ ]$に適当な答えを入れよ．
(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．
(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]
(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．
(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．
(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．
(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．
(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]
(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．
(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．
(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．
私立 明治大学 2011年 第1問次の空欄$[ア]$から$[カ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．ただし$\log$は自然対数，また$e$はその底である．
(1)円柱$C$の底面の半径を$r$，高さを$h$とする．$C$の体積が$V$であるとき$C$の表面積$S$を$r$と$V$で表せば
\[ S=2 \pi r^{[ア]}+2Vr^{[イ]} \]
となる．したがって体積$V$を一定にしたまま$S$を最小にするためには
\[ r=\left( \frac{V}{[ウ]} \right)^{\frac{1}{3}} \]
とすればよい．このとき$r$と$h$の間には$r=[エ]h$の関係がある．
(2)次の問いに答えよ．
(i) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\log (n+5)}{\log (n+2)}=[オ]$
(ii) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$をそれぞれ
\[ a_n=(n+5)^{-2n+1},\quad b_n=\frac{1}{n \log (n+2)} \]
で定める．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n)^{b_n}=[カ] \]
となる．
(1)円柱$C$の底面の半径を$r$，高さを$h$とする．$C$の体積が$V$であるとき$C$の表面積$S$を$r$と$V$で表せば
\[ S=2 \pi r^{[ア]}+2Vr^{[イ]} \]
となる．したがって体積$V$を一定にしたまま$S$を最小にするためには
\[ r=\left( \frac{V}{[ウ]} \right)^{\frac{1}{3}} \]
とすればよい．このとき$r$と$h$の間には$r=[エ]h$の関係がある．
(2)次の問いに答えよ．
(i) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\log (n+5)}{\log (n+2)}=[オ]$
(ii) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$をそれぞれ
\[ a_n=(n+5)^{-2n+1},\quad b_n=\frac{1}{n \log (n+2)} \]
で定める．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n)^{b_n}=[カ] \]
となる．
私立 明治大学 2011年 第1問次の各問の$[ ]$に数値を入れよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$を初項が$-15$，公差が整数$d$の等差数列とする．このとき$a_4<0<a_5$ならば，$d=[1]$となり，
\[ \sum_{n=1}^5 (-1)^{n-1}na_n=[2] \]
である．
(2)$1$から$4$までの数字が，$1$つずつ書いてある$4$枚のカードがある．この中から同時に$2$枚を取り出し，大きい方の数字を$a$とし，小さい方の数字を$b$とするとき，$2a-b$を得点とする．このとき，得点の期待値は，$[3]$であり，得点が$[3]$未満となる確率は，$[4]$である．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$かつ$\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2}$を満たす$x$について，
\[ 1-\tan^2 x=3 \cos (\pi-x)+\frac{2}{\cos (\pi-x)} \]
を満たすとき，
\[ \cos x=[5],\quad \sin x=[6] \]
である．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$を初項が$-15$，公差が整数$d$の等差数列とする．このとき$a_4<0<a_5$ならば，$d=[1]$となり，
\[ \sum_{n=1}^5 (-1)^{n-1}na_n=[2] \]
である．
(2)$1$から$4$までの数字が，$1$つずつ書いてある$4$枚のカードがある．この中から同時に$2$枚を取り出し，大きい方の数字を$a$とし，小さい方の数字を$b$とするとき，$2a-b$を得点とする．このとき，得点の期待値は，$[3]$であり，得点が$[3]$未満となる確率は，$[4]$である．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$かつ$\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2}$を満たす$x$について，
\[ 1-\tan^2 x=3 \cos (\pi-x)+\frac{2}{\cos (\pi-x)} \]
を満たすとき，
\[ \cos x=[5],\quad \sin x=[6] \]
である．
私立 明治大学 2011年 第1問次の各問の$[ ]$にあてはまる数を記入せよ．
(1)$z^2 = -2i$のとき，$z$を求めると，
\[ z= [ア]-[イ]i,\ z=-[ウ]+[エ]i \]
である．ただし，$i^2=-1$である．
(2)$2$次方程式$x^2-px+p-1=0$の$2$つの解の比が$1:3$であるとき，
\[ \text{定数}p\text{の値は}[ア],\ \text{または}\frac{[イ]}{[ウ]}\text{である} \]
(3)不等式$\log_{0.5}(5-x)<2\log_{0.5}(x-3)$の解は，
\[ [ア]<x<[イ] \]
である．
(4)放物線$y=ax^2 (a>0)$と直線$y=bx (b>0)$とで囲まれた部分の面積を$S_1$とし，交点をそれぞれ$\mathrm{O}$（原点），$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$から$x$軸に垂線$\mathrm{AH}$を下ろし，$\triangle \mathrm{AOH}$の面積を$S_2$とすると，
\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(5)事象$\mathrm{A}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{4}{5}$，事象$\mathrm{B}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{3}{5}$，事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$のどちらか一方だけが起こる確率が$\displaystyle\frac{2}{5}$であるとする．このとき，事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$がともに起こる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{CD}$と$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{O}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \frac{[ア]}{[イ]}\overrightarrow{\mathrm{CA}} + \frac{[ウ]}{[エ]}\overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
である．
(1)$z^2 = -2i$のとき，$z$を求めると，
\[ z= [ア]-[イ]i,\ z=-[ウ]+[エ]i \]
である．ただし，$i^2=-1$である．
(2)$2$次方程式$x^2-px+p-1=0$の$2$つの解の比が$1:3$であるとき，
\[ \text{定数}p\text{の値は}[ア],\ \text{または}\frac{[イ]}{[ウ]}\text{である} \]
(3)不等式$\log_{0.5}(5-x)<2\log_{0.5}(x-3)$の解は，
\[ [ア]<x<[イ] \]
である．
(4)放物線$y=ax^2 (a>0)$と直線$y=bx (b>0)$とで囲まれた部分の面積を$S_1$とし，交点をそれぞれ$\mathrm{O}$（原点），$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$から$x$軸に垂線$\mathrm{AH}$を下ろし，$\triangle \mathrm{AOH}$の面積を$S_2$とすると，
\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(5)事象$\mathrm{A}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{4}{5}$，事象$\mathrm{B}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{3}{5}$，事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$のどちらか一方だけが起こる確率が$\displaystyle\frac{2}{5}$であるとする．このとき，事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$がともに起こる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{CD}$と$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{O}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \frac{[ア]}{[イ]}\overrightarrow{\mathrm{CA}} + \frac{[ウ]}{[エ]}\overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
である．
私立 明治大学 2011年 第1問以下の$[ア]$から$[ツ]$にあてはまる数字または式を記入せよ．
(1)数列
\[ \frac{1}{1+2},\ \frac{1}{1+2+3},\ \frac{1}{1+2+3+4},\ \cdots \]
の第$n$項を$a_n$で表すと
\[ a_{40} = \frac{1}{[ア][イ][ウ]} \]
であり，
\[ \sum_{n=40}^{80} a_n = \frac{[エ]}{[オ][カ]} \]
である．
(2)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=1$である三角形$\mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．また線分$\mathrm{AB}$を$5:2$に外分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{E}$とする．さらに直線$\mathrm{OC}$と直線$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{[キ]}{[ク]} \overrightarrow{a}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{b},$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{b},$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{a}+\frac{[チ]}{[ツ]} \overrightarrow{b}$
となる．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+6x^2}-1}{\sin^2 x}=[テ]$
(4)$\comb{n}{5}$が$5$の倍数となるような整数$n$は，$100 \leqq n \leqq 125$の範囲に$[ト]$個ある．
(1)数列
\[ \frac{1}{1+2},\ \frac{1}{1+2+3},\ \frac{1}{1+2+3+4},\ \cdots \]
の第$n$項を$a_n$で表すと
\[ a_{40} = \frac{1}{[ア][イ][ウ]} \]
であり，
\[ \sum_{n=40}^{80} a_n = \frac{[エ]}{[オ][カ]} \]
である．
(2)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=1$である三角形$\mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．また線分$\mathrm{AB}$を$5:2$に外分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{E}$とする．さらに直線$\mathrm{OC}$と直線$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{[キ]}{[ク]} \overrightarrow{a}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{b},$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{b},$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{a}+\frac{[チ]}{[ツ]} \overrightarrow{b}$
となる．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+6x^2}-1}{\sin^2 x}=[テ]$
(4)$\comb{n}{5}$が$5$の倍数となるような整数$n$は，$100 \leqq n \leqq 125$の範囲に$[ト]$個ある．
私立 金沢工業大学 2011年 第3問関数$\displaystyle y=3 \cos^2 x-\cos 2x+\sin x \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について考える．
(1)$t=\sin x$とおくと，関数$y$は$t$の関数として
\[ y=[ア]t^2+t+[イ] \]
と表される．
(2)$y$は$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ウ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$をとり，$\displaystyle x=-\frac{\pi}{[カ]}$のとき最小値$[キ]$をとる．
(1)$t=\sin x$とおくと，関数$y$は$t$の関数として
\[ y=[ア]t^2+t+[イ] \]
と表される．
(2)$y$は$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ウ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$をとり，$\displaystyle x=-\frac{\pi}{[カ]}$のとき最小値$[キ]$をとる．
私立 金沢工業大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア] \sqrt{[イ]}$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[ウエ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)$(2a+1)(2a-1)(a^2-a+4)$の展開式における$a^2$の項の係数は$[カキ]$である．
(3)整式$A=x^2-2xy+3y^2$，$B=2x^2+3y^2$，$C=x^2-2xy$について
\[ 2(A-B)-\{C-(3A-B)\}=[クケ]x^2-[コ]xy+[サ]y^2 \]
である．
(4)方程式$x^2+3kx+k^2+5k=0$が重解をもつような定数$k$の値は$[シ]$，$[ス]$である．ただし，$[シ]<[ス]$とする．また，$k=[ス]$のとき，この方程式の重解は$x=[セソ]$である．
(5)$2$次関数$y=2x^2-2mx-m^2+9$のグラフが$x$軸の正の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$\sqrt{[タ]}<m<[チ]$である．
(6)$\displaystyle \tan \theta=-\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{[ツ]}$，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とする．
(7)数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使い$4$桁の整数を作る．このとき，$4$桁の整数は全部で$[アイ]$個あり，このうち$2$の倍数は$[ウエ]$個ある．ただし，同じ数字を重複して使わないこととする．
(8)大小$2$個のさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$X+Y=8$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$であり，$2X-Y=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．
(1)$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア] \sqrt{[イ]}$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[ウエ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)$(2a+1)(2a-1)(a^2-a+4)$の展開式における$a^2$の項の係数は$[カキ]$である．
(3)整式$A=x^2-2xy+3y^2$，$B=2x^2+3y^2$，$C=x^2-2xy$について
\[ 2(A-B)-\{C-(3A-B)\}=[クケ]x^2-[コ]xy+[サ]y^2 \]
である．
(4)方程式$x^2+3kx+k^2+5k=0$が重解をもつような定数$k$の値は$[シ]$，$[ス]$である．ただし，$[シ]<[ス]$とする．また，$k=[ス]$のとき，この方程式の重解は$x=[セソ]$である．
(5)$2$次関数$y=2x^2-2mx-m^2+9$のグラフが$x$軸の正の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$\sqrt{[タ]}<m<[チ]$である．
(6)$\displaystyle \tan \theta=-\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{[ツ]}$，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とする．
(7)数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使い$4$桁の整数を作る．このとき，$4$桁の整数は全部で$[アイ]$個あり，このうち$2$の倍数は$[ウエ]$個ある．ただし，同じ数字を重複して使わないこととする．
(8)大小$2$個のさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$X+Y=8$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$であり，$2X-Y=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．
私立 金沢工業大学 2011年 第4問円$x^2+y^2+4x-2y-4=0$を$C$とし，直線$y=-x+2$を$\ell$とする．
(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$の座標は$([クケ],\ [コ])$であり，半径は$[サ]$である．
(2)直線$\ell$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の座標は$([シ],\ [ス])$である．
(3)点$\mathrm{P}$と直線$\ell$の間の距離は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]} \sqrt{[タ]}$である．
(4)円$C$と直線$\ell$の$2$つの共有点の間の距離は$[チ] \sqrt{[ツ]}$である．
(5)点$\mathrm{Q}$を中心とし，円$C$と同じ半径をもつ円を$C^\prime$とすると，$2$つの円$C$と$C^\prime$の共通部分の面積は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]} \pi-[ナ]$である．
(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$の座標は$([クケ],\ [コ])$であり，半径は$[サ]$である．
(2)直線$\ell$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の座標は$([シ],\ [ス])$である．
(3)点$\mathrm{P}$と直線$\ell$の間の距離は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]} \sqrt{[タ]}$である．
(4)円$C$と直線$\ell$の$2$つの共有点の間の距離は$[チ] \sqrt{[ツ]}$である．
(5)点$\mathrm{Q}$を中心とし，円$C$と同じ半径をもつ円を$C^\prime$とすると，$2$つの円$C$と$C^\prime$の共通部分の面積は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]} \pi-[ナ]$である．
私立 金沢工業大学 2011年 第5問$\mathrm{O}$を原点とする平面において，$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$を$2$辺とし，$\mathrm{OC}$を対角線とする平行四辺形$\mathrm{OACB}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくと，それぞれのベクトルの大きさは
\[ |\overrightarrow{a}|=2,\quad |\overrightarrow{b}|=3,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{19} \]
である．このとき，
(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$であり，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{[イ]}$である．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{b}$に直交する$t$の値を$t_0$とすると，$\displaystyle t_0=\frac{[ウエ]}{[オ]}$であり，$|\overrightarrow{a}+t_0 \overrightarrow{b}|=\sqrt{[カ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \sqrt{[ケ]}$である．
\[ |\overrightarrow{a}|=2,\quad |\overrightarrow{b}|=3,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{19} \]
である．このとき，
(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$であり，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{[イ]}$である．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{b}$に直交する$t$の値を$t_0$とすると，$\displaystyle t_0=\frac{[ウエ]}{[オ]}$であり，$|\overrightarrow{a}+t_0 \overrightarrow{b}|=\sqrt{[カ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \sqrt{[ケ]}$である．
私立 青森中央学院大学 2011年 第2問$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$のとき，$x^2+y^2-62$の値を求めよ．