$xy$-平面上の放物線$y=x^2$を$C$とする．以下の問に答えよ．

(1)$C$上の点$(a,\ a^2)$における$C$の法線の方程式を求めよ．
(2)点$(1,\ 2)$を通る$C$の法線の数を求めよ．
(3)点$\displaystyle (t,\ t+\frac{1}{2})$を通る$C$の法線の数が$2$となるための$t$に対する条件を求めよ．

$xy$-平面上の円$C: x^2+y^2=1$の内側を半径$\displaystyle\frac{1}{2}$の円$D$が$C$に接しながらすべらずに転がる．時刻$t$において$D$は点$(\cos\, t,\ \sin\, t)$で$C$に接しているとする．$D$の周上の点$\mathrm{P}$の軌跡について考える．ある時刻$t_0$において点$\mathrm{P}$が$\displaystyle(\frac{1}{4},\ \frac{\sqrt{3}}{4})$にあり，$D$の中心が第$2$象限にあるとする．以下の問に答えよ．

(1)時刻$t_0$における$D$の中心の座標を求めよ．
(2)第$1$象限において，点$\mathrm{P}$が$C$上にあるときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の軌跡を$xy$-平面上に図示せよ．

$f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を次の点に注意して描け：$f(x)$の増減，グラフの凹凸，$x$→$+0$，$x$→$\infty$のときの$f(x)$の挙動．
(2)$n$を自然数とする．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して$x$が$\displaystyle e^{\frac{k-1}{n}} \leqq x \leqq e^{\frac{k}{n}}$を動くときの$f(x)$の最大値を$M_k$，最小値を$m_k$とし，
\[ A_n = \sum_{k=1}^n M_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
\[ B_n = \sum_{k=1}^n m_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
とおく．$A_n,\ B_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$および$\displaystyle\lim_{n \to \infty} B_n$求めよ．
(4)各$n$に対して$\displaystyle B_n < \int_1^e f(x)\, dx < A_n$であることを示せ．

$xy$平面上にある$3$つの半直線
\[ y=0 (x \geqq 0),\quad y=x\tan \theta (x \geqq 0),\quad y=-\sqrt{3}x (x \leqq 0) \]
と，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r (r \geqq 1)$の円が交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．ただし$\displaystyle\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$である．

(1)四角形$\mathrm{OABC}$の面積が半径$1$の円に内接する正六角形の面積の$\displaystyle\frac{1}{3}$に等しいとき，$r^2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}r^2\,d\theta$を求めよ．

不等式
\[ |y| - |x(x-1)| \leqq 0 \]
の表す領域を$S$とする．

(1)$S$において，不等式
\[ -\frac{9}{10} \leqq x \leqq \frac{11}{10} \]
を満たす点$(x,\ y)$の領域を$T$とする．$T$に含まれる点$(x,\ y)$に対し，$y$の最大値は[テ]である．
(2)$S$において，不等式
\[ -\frac{1}{20} \leqq x \leqq \frac{11}{10} \]
を満たす点$(x,\ y)$の領域を$U$とする．領域$U$における関数$x+9y$の最大値は[ト]で，最小値は[ナ]である．

曲線$y=\log_4x$上に，その$x$座標を，それぞれ，$\displaystyle\frac{1}{2}t,\ t,\ 2t (t>0)$とする$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をとる．このとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$の距離は$[ア]$であり，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$[イ]$である．空欄にあてはまる$t$の式を解答欄に記入せよ．

$xy$-平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，楕円$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>b>0)$を$E$とする．$E$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$における$E$の法線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が$s>0,\ t>0$の範囲を動くとき，$\angle \mathrm{OPQ}$が最大になる点$\mathrm{P}$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-6x-\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}$の定義域は$x>0$とする．
\[ x=\frac{[オ]\text{±}\sqrt{[カ]}}{[キ]} \text{のとき，関数} f(x) \text{は最小値}[ク]\text{をとる．} \]
ただし，$[キ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

次の各問に答えよ．

(1)ある工場の製品が$50$個あり，その中に不良品が$2$個だけ含まれている．このとき次の問いに答えよ．

(2)この$50$個の製品の中から$5$個を同時に取り出したとき，少なくとも$1$個の不良品が含まれる確率は$[ア]$である．
(3)この$50$個の製品の中から同時にいくつかの製品を取り出したとき，$1$個以上の不良品が含まれる確率を$\displaystyle\frac{1}{2}$より大きくなるようにしたい．このときに，取り出す製品の個数は少なくとも$[イ]$個でなければならない．

(4)$x^2+y^2=25$で表される円$A$がある．点$(7,\ 1)$から円$A$に接線を引く．

(5)接線の方程式は，$y=-[ウ]x+[エ]$と$y=[オ]x-[カ]$で表される．$[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$，$[カ]$を正の分数で表せ．
(6)上で求めた$2$本の接線に接し，さらに円$A$に接する円は$[キ]$個ある．これらの$[キ]$個の円の半径で，最大の半径は$[ク]$であり，最小の半径は$[ケ]$である．

次の問に答えよ．

(1)$a,\ b$は整数で，$2$次方程式
\[ x^2 + ax + b= 0 \dotnum{A} \]
が異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとする．このとき，$\alpha,\ \beta$はともに整数であるか，ともに無理数であるかのいずれかであることを証明する．以下の問に答え，証明を完成させよ．\\
\quad まず，$b=0$のときは，$x^2+ax=0$であるから\maru{A}は整数解$0,\ -a$をもつ．以下では$ b \neq 0$とする．\\
\quad 解と係数の関係より，$\alpha + \beta = -a,\ \alpha\beta = b$であり，これらは整数である．有理数と無理数の和は有理数でなく，整数と整数以外の有理数の和は整数ではないという事実を用いると，$\alpha,\ \beta$がともに整数以外の有理数であるとして矛盾を導けばよい．\\
\quad そこで，$\alpha,\ \beta$が2以上の整数$p_1,\ p_2$と0でない整数$q_1,\ q_2$を用いて，既約分数
\[ \alpha = \frac{q_1}{p_1},\quad \beta = \frac{q_2}{p_2} \]
で表されると仮定する．ここに，$\displaystyle\frac{q_i}{p_i}\ (i=1,\ 2)$が既約分数であるとは，$p_i$と$|q_i|$の最大公約数が1であることをいう．このとき，
\[ \alpha + \beta = \frac{p_2q_1+p_1q_2}{p_1p_2} \cdots\cdots① \]
\[ \alpha\beta = \frac{q_1q_2}{p_1p_2} \cdots\cdots② \]
である．

(i) $①$において，$\alpha+\beta$が整数であることを用いて，$p_1=p_2$であることを示せ．
(ii) $②$において，$\alpha\beta$が整数であることと問\maru{1}の結果から，既約分数の仮定に矛盾することを示せ．

$(ⅱ)$の結果から，$\alpha,\ \beta$はともに整数であるか，ともに無理数であることが示された．
(2)$c$が自然数のとき，$\sqrt{c}$は自然数であるか無理数であることを証明せよ．