$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくと，$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{5}{6}$が成り立っている．$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$とし，半直線$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AB}:\mathrm{AH}=1:s (s>0)$となる点$\mathrm{H}$をとる．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線$\mathrm{OH}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)$(2)$のとき，直線$\mathrm{OH}$と直線$\mathrm{PB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)$a>0$とする．関数$y=(a-x)\sqrt{x} \ (0<x<a)$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)自然数$n$について，等式
\[ 1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，$x \neq 1$とする．
(4)$i$を虚数単位とする．等式$\displaystyle (2+3i)(5a-2i)=\frac{b}{1-i}$を満たす実数$a$と実数$b$の値を求めよ．
(5)次の不定積分を求めよ．
\[ (ⅰ) \int \frac{1}{\tan 4x} \, dx \qquad (ⅱ) \int x \sqrt{1-5x} \, dx \]

関数$f(x)=\cos x-x \sin x,\ g_n(x)=(x+n \pi)\sin x-\cos x \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，次の問いに答えよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$を満たすすべての$x$について$\tan x>x$が成り立つことを用いてよい．

(1)すべての自然数$n$，実数$x$に対して$g_n(x)=(-1)^{n+1}f(x+n \pi)$が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，方程式$g_n(x)=0$は$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲においてただ$1$つの解をもつことを示せ．
(3)(2)におけるただ$1$つの解を$x_n$とする．$x_n$は$\displaystyle 0<x_n<\frac{1}{n\pi}$を満たすことを示せ．
(4)$y_n=n\pi+x_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．定積分
\[ S_n=\int_{y_n}^{y_{n+1}}|f(x)| \, dx \]
を，$n,\ x_n$および$x_{n+1}$を用いて表せ．
(5)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n}$を求めよ．

単位行列$E$と行列$\displaystyle A=\frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
-\sqrt{3} & -1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$A^2=pE+qA$となる実数$p,\ q$の値を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，関係式
\[ E+A+A^2+\cdots +A^{2n-1}+A^{2n}=x_nE+y_nA \]
をみたす実数$x_n,\ y_n$を，$n$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(4)実数$x,\ y$をそれぞれ$\displaystyle x=\lim_{n \to \infty}x_n,\ y=\lim_{n \to \infty}y_n$で定めるとき
\[ xE+yA=(E-A)^{-1} \]
であることを示せ．

関数$f(x)=-x \log x-(1-x) \log (1-x) \ (0<x<1)$について次の問いに答えよ．ただし，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$を使ってよい．

(1)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x),\ \lim_{x \to 1-0}f(x)$を調べ，そのグラフをかけ．
(2)定積分$\displaystyle S(p)=\int_p^{1-p}f(x) \, dx$を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする．
(3)極限$\displaystyle \lim_{p \to +0}S(p)$を求めよ．

$3$個の赤球と$4$個の白球が入った箱がある．この箱から$1$回に$1$つずつランダムに球を取り出すことを繰り返し，$k$回目に初めて赤球を取り出したときに終了する．ただし，取り出した球は箱に戻さない．

(1)$k=3$となる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{35}$である．
(2)$k$の期待値は$[イ]$である．

四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{OC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，線分$\mathrm{OG}$と線分$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{1}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \frac{1}{[エ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \frac{1}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．

初項$1$，公差$2$の等差数列$\{a_n\}$に対して，数列$\{b_n\},\ \{c_n\},\ \{d_n\}$をそれぞれ
\[ b_n = \frac{2n+1}{a_n}, \quad c_n= \log_3 b_n, \quad d_n = \sum_{k=1}^{n}c_k \]
で定める．このとき，
\[ d_n = \log_3 \left([カ]n+[キ]\right) \]
となる．さらに，$d_n$が整数となるような$n$を小さい順に$m$個並べて，その和を求めると，
\[ \frac{[ク]^{m+1}+[ケ]m+[コ]}{4}\]
となる．

$a$を$0$でない実数とする．$2$つの異なる曲線
\[ C_1: y=x^2-2x+5,\quad C_2: y=ax^2+(1-3a)x+\frac{13}{8}\]
は，ある共有点$\mathrm{P}$で共通な接線$\ell$をもつ．さらに，曲線$C_2$上の点$\mathrm{Q}$において$\ell$以外の接線を，$\ell$と点$\mathrm{R}$で直交するように引く．このとき$a$の値は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，共通接線$\ell$の方程式は$[チ]x-[ツ]y+[テ]=0$である．また，曲線$C_2$は$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$1:[ト]$に分ける．ただし，$[タ]$から$[ト]$はできる限り小さい自然数で答えること．

図のように，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する正$9$角形の頂点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_9$から，長さが最大となる対角線を$2$本ずつ引き，それらの交点を$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_2$，$\cdots$，$\mathrm{B}_9$とする．これらの点を$\mathrm{A}_1 \to \mathrm{B}_1 \to \mathrm{A}_2 \to \mathrm{B}_2 \to \cdots \to \mathrm{A}_9 \to \mathrm{B}_9 \to \mathrm{A}_1$の順に線分で結んでできた図形を星型$S$とよぶ．ここで，$\tan 10^\circ=a$とするとき，$\triangle \mathrm{OA}_1 \mathrm{B}_1$の辺$\mathrm{OA_1}$を底辺としたときの高さを$h$とすると
\[ h=\frac{[ナ]a}{[ニ]-a^{[ヌ]}} \]
である．よって，星型$S$の面積は$[ネ]h$である．
（図は省略）