次の条件によって定められる関数の列$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
\begin{align}
& f_0(x)=1 \nonumber \\
& f_n(x)=1-\int_0^x tf_{n-1}(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{align}
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f_1(x),\ f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)$n \geqq 1$のとき，$f_n(x)-f_{n-1}(x)$は$x$についての次数が$2n$の単項式となることを示し，その単項式を求めよ．
(3)$n \geqq 1$のとき，不等式
\[ \frac{1}{2} \leqq f_n(1) \leqq \frac{5}{8} \]
が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$において，$a_n$は小数第$1$位から小数第$n$位までの数字が$0$で小数第$(n+1)$位から小数第$2n$位までの数字が$9$であり，小数第$(2n+1)$位以降の数字が$0$である実数とする．ただし，$0<a_n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．また，数列$\{b_n\}$を，$b_n=10^na_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．

(i) $b_1,\ b_2,\ b_3$を求め，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) $\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$s_n$を求めよ．
(iii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n$を求めよ．

(2)当たりくじが$k$本入っている$n$本のくじがある．ただし，$n \geqq 2$とする．この中から$2$本のくじを同時に引く．

(i) 少なくとも$1$本当たる確率を，$n$および$k$で表せ．
(ii) $n=21$のとき，少なくとも$1$本当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以上となる最小の$k$を求めよ．
(iii) $n=21$のとき，$2$本とも当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以下となる最大の$k$を求めよ．

$f(x)=1-x^2$とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$は$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq \frac{3}{2}$の範囲で動くものとする．原点と点$\mathrm{P}$の$2$点を通る直線を$\ell$，点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線を$m$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$2$直線$\ell$と$m$の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$において，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_1(a)$とし，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$m$で囲まれた図形の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1(a)=2S_2(a)$を満たす$a$の値を求めよ．
(4)$S_1(a)-S_2(a)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．

円卓の周りに並べられた$n$席の座席に$m$人の人が座るとき，どの二人も隣り合わない確率を$P(n,\ m)$とする．ただし$\displaystyle 2 \leqq m \leqq \frac{n}{2}$とし，どの空席も同じ確率で選ぶものとする．

(1)$P(n,\ 2)$を$n$を用いて表せ．
(2)$P(n,\ m)$を$n,\ m$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{m \to \infty}P(m^2,\ m)$を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$と点$\mathrm{P}$について，
\[ 6 \overrightarrow{\mathrm{OP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立っている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AQ}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$に対する四面体$\mathrm{PABR}$の体積$W$の比$\displaystyle \frac{W}{V}$を求めよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を次の関係式により定義する．
\begin{align}
& a_1=3,\ b_1=1, \nonumber \\
& a_{n+1}=\displaystyle\frac{3a_n+13b_n}{2},\quad b_{n+1}=\displaystyle\frac{a_n+3b_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{align}
このとき，次の問いに答えよ．

(1)数学的帰納法を用いて，$a_n+b_n,\ a_n-b_n$はともに正の偶数であることを証明せよ．
(2)$c_n=a_n+\sqrt{13} \, b_n,\ d_n=a_n-\sqrt{13} \, b_n$とおく．数列$\{c_n\},\ \{d_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \tan \alpha=a,\ \tan \beta=b \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$のとき，$\cos (2 \alpha+\beta)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)1から9までの異なる整数が1つずつ書かれている9枚のカードがある．この中から4枚のカードを同時に取り出すとき，その4つの整数の和が奇数になる確率を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=4x+\frac{22}{3}$がある．また関数$g(x)$は等式
\[ g(x)=x(x+2)+\int_{-1}^1 g(t) \, dt \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$g(x)$を求めよ．
(2)直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$，直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点のうち$x$座標の値が小さい方を$\mathrm{B}$，直線$y=f(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{C}$とする．また点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BC}$上にとり，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と曲線$y=g(x)$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$，線分$\mathrm{PA}$，および曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標と，そのときの面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関係式
\[ a_1=1,\quad na_{n+1}-(n+1)a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めたい．$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{n} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおいて数列$\{b_n\}$の一般項を求めることにより，$a_n$を求めよ．
(2)$x \neq 1$のとき，等比数列の和の公式
\[ \sum_{k=0}^{n-1}x^k=\frac{x^n-1}{x-1} \]
の両辺を$x$で微分せよ．その結果を利用して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}kx^k$を求めよ．
(3)$p \neq 1$のとき，関係式
\[ c_1=0,\quad \frac{pc_{n+1}}{n}-\frac{c_n}{n+1}=\frac{1}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義される数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{3}+y^2=1$上の点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{\sqrt{6}}{3} \right)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$\theta$が$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{5}$および$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たすとき，$\tan 2\theta$と$\tan 4\theta$の値を求めよ．また，$\displaystyle 4\theta=\frac{\pi}{4}+\alpha$とおくとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right)$を，ある関数$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における定積分を用いて表し，この極限値を求めよ．