媒介変数$t$を用いて$x=t^2,\ y=t^3$と表される曲線を$C$とする．ただし，$t$は実数全体を動くとする．また，実数$a \ (a \neq 0)$に対して，点$(a^2,\ a^3)$における$C$の接線を$\ell_a$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

座標平面上で原点を中心とする角$\theta \ $(ラジアン)の回転移動を表す行列を$R(\theta)$とする．また，$\displaystyle 0<\theta<\pi \ \left( \theta \neq \frac{\pi}{2} \right)$となる$\theta$に対し，直線$y=(\tan \theta)x$に関する対称移動を表す行列を$A(\theta)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)行列$X=R(\theta)^{-1}A(\theta)R(\theta)$を求めよ．また，$s$に対して$XR(s)X=R(t)$を満たす$t$を求めよ．ただし，$R(\theta)^{-1}$は$R(\theta)$の逆行列である．
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\pi,\ 0<\beta<\pi \ \left( \alpha,\ \beta \neq \frac{\pi}{2} \right)$のとき，$A(\alpha) A(\beta)$を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$のとき，$A(\alpha)A(\beta)=A(\beta)A(\alpha)$となるための必要十分条件を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2}$で，点$(\tan \alpha,\ \tan \beta)$が曲線$\displaystyle y=\frac{3x-1}{x+3}$上にあるとき，次の\maru{1}，\maru{2}に答えよ．

\mon[\maru{1}] $\tan (\alpha-\beta)$の値を求めよ．
\mon[\maru{2}] $A(\alpha)A(\beta)$を求めよ．

一般項が$\displaystyle a_n=\frac{27}{10}\left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$で与えられる数列$\{a_n\}$の，初項から第$n$項までの和を$b_n$と表すとき，次の問に答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{\displaystyle \left( \frac{43}{2}-b_n \right)^2}+\frac{y^2}{\displaystyle \left( \frac{81}{10}+b_n \right)^2}=1$の面積を$S_n$で表すとき．$S_n$が最大になる自然数$n$と，そのときの$S_n$の値を求めよ．

以下の設問に答えよ．

(1)初項$a$，公比$r$の無限等比級数は$|\,r\,|<1$のとき収束し，その和が$\displaystyle \frac{a}{1-r}$となることを示せ．
(2)座標平面上で，動点Pが点$(1,\ 1)$から$x$軸の負の向きに1だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3}$だけ進み，次に$x$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^2}$だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^3}$だけ進む．以下，動点Pがこのような運動を続けるとき，動点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ．

自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$と置く．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^{n-1} x)(\sin x)^\prime \, dx$と書きなおし，部分積分を適用して$I_n$と$I_{n-2}$の関係式を求めよ．但し$n \geqq 3$とする．
(2)$I_5$を求めよ．

次の設問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right) \ (x>0)$の逆関数を求めよ．
(2)関数$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}\left( e^x-e^{-x} \right)$の逆関数$h(x)$を求めよ．
(3)上で求めた関数$h(x)$の導関数を求めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$y=e^{\sqrt{x}}$
(3)$\displaystyle y=\frac{\log |\cos x|}{x}$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} x \tan (x^2) \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{3}} xe^{3x} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_e^{e^e} \frac{1}{x \log x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_2^3 \frac{x^2+1}{x(x+1)} \, dx$

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$y=e^{\sqrt{x}}$
(3)$\displaystyle y=\frac{\log |\cos x|}{x}$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} x \tan (x^2) \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{3}} xe^{3x} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_e^{e^e} \frac{1}{x \log x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_2^3 \frac{x^2+1}{x(x+1)} \, dx$

媒介変数$t$を用いて$x=t^2,\ y=t^3$と表される曲線を$C$とする．ただし，$t$は実数全体を動くとする．また，実数$a \ (a \neq 0)$に対して，点$(a^2,\ a^3)$における$C$の接線を$\ell_a$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)自然数$p,\ q$を自然数$m$で割ったときの余りをそれぞれ$r,\ s$とする．このとき，$pq-rs$は$m$の倍数であることを示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$3^n$を4で割ったときの余りを求めよ．
(3)$n$を自然数とし，$r$を実数とするとき，二項展開を利用して
\[ \sum_{k=1}^n {}_{2n} \text{C}_{2k-1} \cdot r^{2k-1} \]
を求めよ．
(4)サイコロを$2n$回振り，出た目をすべて掛け合わせた数を$X_n$とする．使用するサイコロの目は1，2，3，4，5，6であり，どの目の出る確率も$\displaystyle \frac{1}{6}$である．このとき，$X_n$を4で割ったときの余りが3である確率$P_n$を求めよ．