数直線上の動点Aがはじめ原点にある．動点Aは1秒ごとに数直線上を正の向きまたは負の向きにそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で指定された長さを移動するものとする．$n$秒後に動点Aが原点に戻る確率を$p_n$とする．ただし，$n$は自然数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)動点Aが1秒ごとに正の向きに1または負の向きに1移動するとき，$p_1,\ p_2,\ p_3,\ p_4$を求めよ．
(2)動点Aが1秒ごとに正の向きに2または負の向きに1移動するとき，$p_6$を求めよ．

$xy$平面上の3点をO$(0,\ 0)$，A$(4,\ 0)$，B$(3,\ 3)$とする．2点O，Aを通る放物線を$y=-ax^2+bx$とする．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$の式で表せ．
(2)$y=-ax^2+bx$と$x$軸とで囲まれた図形が，$\triangle$OABに含まれるような，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$y=-ax^2+bx$と$x$軸とで囲まれた図形の面積が$\triangle$OABの面積の$\displaystyle \frac{1}{3}$となるとき，$a$の値を求めよ．

$xy$平面上に曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$がある．曲線$C$上の点P$\displaystyle \left( t,\ \frac{1}{t} \right)$における接線を$\ell$とし，原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ．
(2)点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ．
(3)直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，線分OHの長さを$d$とする．

\mon[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を正の実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)不等式$\displaystyle \sqrt{ab} \leqq \frac{a+b}{2}$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \sqrt[4]{abcd} \leqq \frac{a+b+c+d}{4}$を示せ．
(3)不等式$\displaystyle \sqrt[4]{ab^3} \leqq \frac{a+3b}{4}$を示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{5}$であるとき，$\sin 3\theta$の値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．このとき，
\[ -2 \sin 3x-\cos 2x +3 \sin x+1 \leqq 0 \]
を満たすような$x$の範囲を求めよ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{10n+3(-1)^n-5}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_n$は正の奇数であることを示せ．
(2)$a_n$を5で割った余りは1または4であることを示せ．
(3)正の奇数のうち，5で割った余りが1または4であるものすべてを，小さい方から順に並べてできる数列が$\{a_n\}$であることを示せ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に2点P$(2p,\ 2p^2)$，Q$(2q,\ 2q^2)$がある．ただし，$p<q$である．点Pにおける接線と点Qにおける接線の交点をA$(\alpha,\ \beta)$とする．また，放物線$C$と2直線PA，QAで囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$S$を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$S=9$かつ$\text{PA} \perp \text{QA}$のとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{5}$であるとき，$\sin 3\theta$の値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．このとき，
\[ -2 \sin 3x-\cos 2x +3 \sin x+1 \leqq 0 \]
を満たすような$x$の範囲を求めよ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{10n+3(-1)^n-5}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_n$は正の奇数であることを示せ．
(2)$a_n$を5で割った余りは1または4であることを示せ．
(3)正の奇数のうち，5で割った余りが1または4であるものすべてを，小さい方から順に並べてできる数列が$\{a_n\}$であることを示せ．

$f(x)=2x^2-15x+16+11 \log x$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数であり，その底は$e=2.718 \cdots$である．

(1)$x \geqq 1$のとき，$f(x)>0$であることを示せ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および2直線$x=2,\ x=3$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \log \frac{27}{4}>1.8$であることを示せ．