「分数」について
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国立 大分大学 2011年 第3問3点O，A，Bがあり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくと，$\displaystyle |\overrightarrow{a}|=3,\ |\overrightarrow{b}|=2,\ \cos \angle \text{AOB}=\frac{5}{6}$が成り立っている．OAの中点をPとし，半直線AB上に$\text{AB}:\text{AH}=1:s \ (s>0)$となる点Hをとる．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
国立 千葉大学 2011年 第12問$k+1$個（$k \geqq 1$）の部屋$A_0,\ A_1,\ A_2,\ \cdots,\ A_k$がある．千葉君はある部屋から，その部屋以外の部屋を等しい確率$\displaystyle \frac{1}{k}$で$1$つ選び，そこへ移動する．最初，部屋$A_0$にいた千葉君が，$n$回（$n \geqq 1$）部屋を移動した後に部屋$A_1$にいる確率を求めよ．
国立 千葉大学 2011年 第13問$a,\ b,\ c$は実数とし，
\[ f(x) = x^4+bx^2+cx+2 \]
とおく．さらに$4$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$と$2$つの虚数解をもち，
\[ \alpha+\beta=-(a+1),\quad \alpha\beta=\frac{1}{a} \]
を満たすと仮定する．
(1)$b,\ c$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$b$のとり得る値の範囲を求めよ．
\[ f(x) = x^4+bx^2+cx+2 \]
とおく．さらに$4$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$と$2$つの虚数解をもち，
\[ \alpha+\beta=-(a+1),\quad \alpha\beta=\frac{1}{a} \]
を満たすと仮定する．
(1)$b,\ c$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$b$のとり得る値の範囲を求めよ．
国立 愛知教育大学 2011年 第2問$1$辺の長さが$2$の正方形の紙を用意し，頂点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$， \\
$\mathrm{A}_4$と名づける．右図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ \\
$1-t \ (0<t<1)$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_1$， \\
$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{B}_2$，$\triangle \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{B}_3$，$\triangle \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_4$を正方形から切り離す． \\
そして，4本の線分$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_4 \mathrm{B}_1$で紙を折り， \\
点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$が1点になるように辺を貼り合わせて四角すいを作る．このとき，以下の問いに答えよ．
\img{409_2566_2011_1}{55}
(1)この四角すいの表面積$S$を$t$の式で表せ．
(2)この四角すいの体積$V$を$t$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{V}{S} \right)^2$を$f(t)$とおくとき，$f(t)$が3次関数になることを示し，$f(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
$\mathrm{A}_4$と名づける．右図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ \\
$1-t \ (0<t<1)$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_1$， \\
$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{B}_2$，$\triangle \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{B}_3$，$\triangle \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_4$を正方形から切り離す． \\
そして，4本の線分$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_4 \mathrm{B}_1$で紙を折り， \\
点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$が1点になるように辺を貼り合わせて四角すいを作る．このとき，以下の問いに答えよ．
\img{409_2566_2011_1}{55}
(1)この四角すいの表面積$S$を$t$の式で表せ．
(2)この四角すいの体積$V$を$t$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{V}{S} \right)^2$を$f(t)$とおくとき，$f(t)$が3次関数になることを示し，$f(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
国立 千葉大学 2011年 第14問次の問いに答えよ．
(1)不等式
\[ \sqrt{x^2+y^2} \geqq x+y+a\sqrt{xy} \]
が任意の正の実数$x,\ y$に対して成立するような，最大の実数$a$の値を求めよ．
(2)$0$以上$1$以下の実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して
\[ abcd \leqq \frac{4}{27} \ \text{または} \ (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2) \leqq \frac{4}{27} \]
が成り立つことを証明せよ．
(1)不等式
\[ \sqrt{x^2+y^2} \geqq x+y+a\sqrt{xy} \]
が任意の正の実数$x,\ y$に対して成立するような，最大の実数$a$の値を求めよ．
(2)$0$以上$1$以下の実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して
\[ abcd \leqq \frac{4}{27} \ \text{または} \ (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2) \leqq \frac{4}{27} \]
が成り立つことを証明せよ．
国立 佐賀大学 2011年 第3問関数
\[ f(t) = \int_1^t \frac{\log x}{x+t} \, dx \quad (t>0) \]
を考える．ただし，対数は自然対数とする．
(1)この定積分を$x=ty$によって置換することにより，
\[ f(t)=\log t \int_{t^{-1}}^1 \frac{1}{y+1} \, dy+\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy \]
を示せ．
(2)$\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy=-\frac{\log t}{t(t+1)}$を示せ．
(3)導関数$f^{\,\prime}(t)$を求めよ．
(4)関数$f(t)$の極値を求めよ．
\[ f(t) = \int_1^t \frac{\log x}{x+t} \, dx \quad (t>0) \]
を考える．ただし，対数は自然対数とする．
(1)この定積分を$x=ty$によって置換することにより，
\[ f(t)=\log t \int_{t^{-1}}^1 \frac{1}{y+1} \, dy+\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy \]
を示せ．
(2)$\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy=-\frac{\log t}{t(t+1)}$を示せ．
(3)導関数$f^{\,\prime}(t)$を求めよ．
(4)関数$f(t)$の極値を求めよ．
国立 佐賀大学 2011年 第4問整数$a,\ b,\ c$に対して，行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & a+c-b
\end{array} \biggr)$をとる．次の問いに答えよ．
(1)行列$Q=\biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
0 & u
\end{array} \biggr)$に対して，
\[ Q^3-Q=\biggl( \begin{array}{cc}
s(s^2-1) & t(s^2+u^2+su-1) \\
0 & u(u^2-1)
\end{array} \biggr) \]
となることを示せ．
(2)整数$x,\ y,\ z$に対して，行列$R=\biggl( \begin{array}{cc}
6x & y \\
0 & 6z
\end{array} \biggr)$をとる．このとき，行列$\displaystyle \frac{1}{6}R^2$の各成分が整数であることを示せ．
(3)$P=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array} \biggr)$とおくとき，$B=PAP^{-1}$を求めよ．さらに，行列$\displaystyle \frac{1}{6}(B^3-B)^2$の各成分が整数であることを示せ．
(4)行列$\displaystyle \frac{1}{6}(A^3-A)^2$の各成分が整数であることを示せ．
a & b \\
c & a+c-b
\end{array} \biggr)$をとる．次の問いに答えよ．
(1)行列$Q=\biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
0 & u
\end{array} \biggr)$に対して，
\[ Q^3-Q=\biggl( \begin{array}{cc}
s(s^2-1) & t(s^2+u^2+su-1) \\
0 & u(u^2-1)
\end{array} \biggr) \]
となることを示せ．
(2)整数$x,\ y,\ z$に対して，行列$R=\biggl( \begin{array}{cc}
6x & y \\
0 & 6z
\end{array} \biggr)$をとる．このとき，行列$\displaystyle \frac{1}{6}R^2$の各成分が整数であることを示せ．
(3)$P=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array} \biggr)$とおくとき，$B=PAP^{-1}$を求めよ．さらに，行列$\displaystyle \frac{1}{6}(B^3-B)^2$の各成分が整数であることを示せ．
(4)行列$\displaystyle \frac{1}{6}(A^3-A)^2$の各成分が整数であることを示せ．
国立 佐賀大学 2011年 第3問$xy$平面上の原点をOとし，放物線$y=k-x^2$を$C$とする．ただし，$k$は$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きい定数とする．$C$上の点P$(t,\ k-t^2)$が$t \geqq 0$の範囲で動くときOPの長さが最小となるPをP$_0$とおく．
(1)P$_0$の座標を求めよ．
(2)OとP$_0$を通る直線と，P$_0$における$C$の接線が直交することを示せ．
(3)OとP$_0$を通る直線の傾きが1のとき，$k$の値を求めよ．
(4)OとP$_0$を通る直線の傾きが1のとき，$xy$平面の第1象限にあって，$x$軸，$y$軸および放物線$C$に接する円のうち小さい方の半径を求めよ．
(1)P$_0$の座標を求めよ．
(2)OとP$_0$を通る直線と，P$_0$における$C$の接線が直交することを示せ．
(3)OとP$_0$を通る直線の傾きが1のとき，$k$の値を求めよ．
(4)OとP$_0$を通る直線の傾きが1のとき，$xy$平面の第1象限にあって，$x$軸，$y$軸および放物線$C$に接する円のうち小さい方の半径を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2011年 第3問自然数$n$に対し
\begin{eqnarray}
& & S_n=\int_0^1 \frac{1-(-x)^n}{1+x} \, dx \nonumber \\
& & T_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k(k+1)} \nonumber
\end{eqnarray}
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)次の不等式を示せ．
\[ \left| S_n-\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx \right| \leqq \frac{1}{n+1} \]
(2)$T_n-2S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} T_n$を求めよ．
\begin{eqnarray}
& & S_n=\int_0^1 \frac{1-(-x)^n}{1+x} \, dx \nonumber \\
& & T_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k(k+1)} \nonumber
\end{eqnarray}
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)次の不等式を示せ．
\[ \left| S_n-\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx \right| \leqq \frac{1}{n+1} \]
(2)$T_n-2S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} T_n$を求めよ．
国立 大分大学 2011年 第3問3点O，A，Bがあり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくと，$\displaystyle |\overrightarrow{a}|=3,\ |\overrightarrow{b}|=2,\ \cos \angle \text{AOB}=\frac{5}{6}$が成り立っている．OAの中点をPとし，半直線AB上に$\text{AB}:\text{AH}=1:s \ (s>0)$となる点Hをとる．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．