$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$とする．3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+1$の導関数を$f^{\, \prime}(x)$とする．相異なる実数$p,\ q$で定まる3つの数
\[ A=\frac{f^{\, \prime}(p)+f^{\, \prime}(q)}{2},\quad B=f^{\, \prime}\biggl(\frac{p+q}{2} \biggr),\quad C=\frac{f(p)-f(q)}{p-q} \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$A$を$a,\ b,\ c,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)$A,\ B,\ C$の大小関係を調べよ．

$\displaystyle X=\frac{1}{4} \biggl( \begin{array}{cc}
\sqrt{6} & 2\sqrt{2} \\
5\sqrt{2} & 2\sqrt{6}
\end{array} \biggr),\ Y=\biggl( \begin{array}{cc}
-1 & \sqrt{3} \\
\sqrt{3} & -2
\end{array} \biggr)$のとき$A=XY$とする．行列$A^n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の表す移動によって，点$(-10^8,\ \sqrt{3}\times 10^8)$が点P$_n$に移るとする．$\log_{10}2=0.3010$として，次の問いに答えよ．

(1)$A=k \biggl( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \biggr)$を満たす$k$と$\theta$を求めよ．ただし，$k>0$とし，$\theta$は$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．
(2)点P$_n$が中心$(0,\ 0)$，半径1の円の内部にある$n$のうちで，最小の$n$の値を求めよ．
(3)不等式$2^8 < \sqrt{x^2+y^2} < 2^{15},\ y>|\,x\,|$の表す領域を$D$とする．点P$_n$が$D$内にある$n$の値をすべて求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，重心を$\mathrm{G}$，内心を$\mathrm{I}$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを証明せよ．
(2)$k$が$\displaystyle k \neq \frac{1}{3}$を満たす実数で，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．

$\displaystyle f(x)=x\int_0^x \frac{dt}{1+t^2}, g(x)=\log (1+x^2) \ (x \text{は実数})$とおく．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．
(2)$x>0$のとき$f(x) > g(x)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log (k^2+n^2) \right) -2\log n \right\}$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x$について$x^2+k>|x|$が成立するような，定数$k$の範囲を求めよ．
(2)放物線$C_1:y=x^2+k$を考える．ただし，定数$k$は(1)の範囲にあるとする．直線$y=x$に関して$C_1$と対称な曲線を$C_2$とする．$C_1$上に点P$_1$を，$C_2$上に点P$_2$をとる．点P$_1$の$x$座標を$s$，点P$_2$の$y$座標を$t$とする．また原点をO$(0,\ 0)$とする．

(3)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積を$A$とおく．$A$を$s$と$t$を用いて表せ．ただし，3点O$(0,\ 0)$，L$(a,\ b)$，M$(c,\ d)$が同一直線上にないとき，その3点を頂点とする$\triangle$OLMの面積が$\displaystyle \frac{1}{2}|ad-bc|$であることは使ってよい．
(4)$t$を固定する．$s$が実数全体を動くときの$A$の最小値を$B$とする．$B$を$t$を用いて表せ．
(5)$t$が実数全体を動くときの$B$の最小値を求めよ．

$a$を実数とし，
\[ I=\int_0^\pi (x+a\cos x+a^2 \sin x)^2 \, dx \]
とおく．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$I$を$a$の式で表しなさい．
(2)$\displaystyle I>\frac{\pi}{2}a^4$であることを示しなさい．

$A=\displaystyle \frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right)$とする．点P$_n(x_n,\ y_n) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．
\begin{eqnarray}
& & \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right), \nonumber \\
& & \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \right) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{eqnarray}
2点F，F$^{\, \prime}$の座標をそれぞれ$(\sqrt{2},\ 0),\ (-\sqrt{2},\ 0)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)P$_n$とFの距離P$_n$Fと，P$_n$とF$^{\, \prime}$の距離P$_n$F$^{\, \prime}$の差を求めよ．
(2)2次曲線$C$で，P$_1$，P$_2$，$\cdots$，P$_n$，$\cdots$がすべて$C$上にあるような$C$の方程式を求めよ．

$a>0$とし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．曲線$C_1$を$\displaystyle y=ax^2+n-\frac{1}{2}$，曲線$C_2$を$y=\log x$とする．$C_1$と$C_2$が共有点$(p,\ q)$をもち，この点で共通の接線をもつとする．

(1)$a$と$(p,\ q)$を$n$で表せ．
(2)$C_1,\ C_2$，$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_n$を$n$で表せ．
(3)(2)で求めた$S_n$に対し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_{n+1}}{S_n}$を求めよ．

$x$の関数$f(x)$と$F(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{x^2+1},\quad F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減，凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$\displaystyle F \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$の値を求めよ．
(3)実数$x,\ y$が$|x|<1,\ |y|<1$を満たすとき
\[ F \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) =F(x)+F(y) \]
が成り立つことを示せ．
(4)$F(2-\sqrt{3})$の値を求めよ．

ある硬貨を投げたとき，表と裏がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るとする．この硬貨を投げる操作を繰り返し行い，3回続けて表が出たときこの操作を終了する．自然数$n$に対し，

操作がちょうど$n$回目で終了となる確率を$P_n$
操作が$n$回以上繰り返される確率を$Q_n$

とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$P_3,\ P_4,\ P_5,\ P_6,\ P_7$をそれぞれ求めよ．
(2)$Q_6,\ Q_7$をそれぞれ求めよ．
(3)$n \geqq 5$のとき，$Q_n-Q_{n-1}$を$Q_{n-4}$を用いて表せ．
(4)$n \geqq 4$のとき，$\displaystyle Q_n < \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}$が成り立つことを示せ．