「分数」について
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国立 岩手大学 2011年 第5問2つの曲線
\[ C_1:y=2x^2,\quad C_2:y=-\frac{1}{4}x^2 \]
と2つの直線
\[ \ell_1:y=ax+t-1,\quad \ell_2:y=bx+t \]
があり，$\ell_1$は$C_1$に接し，$\ell_2$は$C_2$に接している．ただし，$a,\ b,\ t$は定数で，$a>0,\ b>0,\ 0<t<1$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$および$b$をそれぞれ$t$で表せ．
(2)$C_1,\ \ell_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_1$と，$C_2,\ \ell_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_2$が等しくなるときの$t$の値を求めよ．
\[ C_1:y=2x^2,\quad C_2:y=-\frac{1}{4}x^2 \]
と2つの直線
\[ \ell_1:y=ax+t-1,\quad \ell_2:y=bx+t \]
があり，$\ell_1$は$C_1$に接し，$\ell_2$は$C_2$に接している．ただし，$a,\ b,\ t$は定数で，$a>0,\ b>0,\ 0<t<1$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$および$b$をそれぞれ$t$で表せ．
(2)$C_1,\ \ell_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_1$と，$C_2,\ \ell_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_2$が等しくなるときの$t$の値を求めよ．
国立 富山大学 2011年 第3問$\displaystyle \cos \theta = \sqrt{\frac{3}{5}}$のとき
\[ a=\frac{2\sqrt{5}(\sin \theta+\cos \theta)-5\sin 2\theta}{2} \]
とおく．ただし，$0^\circ < \theta < 90^\circ$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$a$に対して，$\displaystyle \frac{1}{a}$の分母を有理化せよ．
\[ a=\frac{2\sqrt{5}(\sin \theta+\cos \theta)-5\sin 2\theta}{2} \]
とおく．ただし，$0^\circ < \theta < 90^\circ$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$a$に対して，$\displaystyle \frac{1}{a}$の分母を有理化せよ．
国立 鳥取大学 2011年 第1問$x>1$である実数$x$に対して$\displaystyle x+\frac{1}{x}=a$とおくとき，次の式を$a$を用いて表せ．
(1)$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$
(2)$\displaystyle x-\frac{1}{x}$
(3)$\displaystyle x^3-\frac{1}{x^3}$
(1)$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$
(2)$\displaystyle x-\frac{1}{x}$
(3)$\displaystyle x^3-\frac{1}{x^3}$
国立 岩手大学 2011年 第5問2つの曲線
\[ C_1:y=2x^2,\quad C_2:y=-\frac{1}{4}x^2 \]
と2つの直線
\[ \ell_1:y=ax+t-1,\quad \ell_2:y=bx+t \]
があり，$\ell_1$は$C_1$に接し，$\ell_2$は$C_2$に接している．ただし，$a,\ b,\ t$は定数で，$a>0,\ b>0,\ 0<t<1$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$および$b$をそれぞれ$t$で表せ．
(2)$C_1,\ \ell_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_1$と，$C_2,\ \ell_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_2$が等しくなるときの$t$の値を求めよ．
\[ C_1:y=2x^2,\quad C_2:y=-\frac{1}{4}x^2 \]
と2つの直線
\[ \ell_1:y=ax+t-1,\quad \ell_2:y=bx+t \]
があり，$\ell_1$は$C_1$に接し，$\ell_2$は$C_2$に接している．ただし，$a,\ b,\ t$は定数で，$a>0,\ b>0,\ 0<t<1$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$および$b$をそれぞれ$t$で表せ．
(2)$C_1,\ \ell_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_1$と，$C_2,\ \ell_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_2$が等しくなるときの$t$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第6問$x>0$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{\sqrt{x}}$について，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と2直線$x=e$，$x=e^2$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と2直線$x=e$，$x=e^2$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第4問$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$とする．3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+1$の導関数を$f^{\, \prime}(x)$とする．相異なる実数$p,\ q$で定まる3つの数
\[ A=\frac{f^{\, \prime}(p)+f^{\, \prime}(q)}{2},\quad B=f^{\, \prime}\biggl(\frac{p+q}{2} \biggr),\quad C=\frac{f(p)-f(q)}{p-q} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$A$を$a,\ b,\ c,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)$A,\ B,\ C$の大小関係を調べよ．
\[ A=\frac{f^{\, \prime}(p)+f^{\, \prime}(q)}{2},\quad B=f^{\, \prime}\biggl(\frac{p+q}{2} \biggr),\quad C=\frac{f(p)-f(q)}{p-q} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$A$を$a,\ b,\ c,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)$A,\ B,\ C$の大小関係を調べよ．