$n$を自然数とする．$xy$平面上で行列$\left( \begin{array}{cc}
1-n & 1 \\
-n(n+1) & n+2
\end{array} \right)$の表す1次変換(移動ともいう)を$f_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)原点O$(0,\ 0)$を通る直線で，その直線上のすべての点が$f_n$により同じ直線上に移されるものが2本あることを示し，この2直線の方程式を求めよ．
(2)(1)で得られた2直線と曲線$y = x^2$によって囲まれる図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{S_n-\frac{1}{6}}$を求めよ．

実数$x$に対して
\[ f(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} | \cos t - x \sin 2t | \, dt \]
とおく．

(1)関数$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．

$xy$平面上の2曲線$\displaystyle C_1 : y = \frac{\log x}{x}$と$C_2 : y = ax^2$は点Pを共有し，Pにおいて共通の接線をもっている．ただし，$a$は定数とする．次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減，凹凸，変曲点を調べ，$C_1$の概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．
(2)Pの座標および$a$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ．
(4)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

$a$は正の実数とし，座標平面上の直線$\ell: y = x$と放物線$C : y = ax^2$を考える．$C$上の点$\displaystyle (x,\ y) \ \bigl( \text{ただし} 0 < x < \frac{1}{a} \bigr)$で$\ell$との距離を最大にする点を$\mathrm{P}(s,\ t)$とおく．また$\mathrm{P}$と$\ell$の距離を $d$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$d,\ s,\ t$をそれぞれ$a$の式で表せ．また点$\mathrm{P}$での放物線$C$の接線の傾きを求めよ．
(2)実数$a$を$a > 0$の範囲で動かしたとき，点$\mathrm{P}(s,\ t)$の軌跡を求め，図示せよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを証明せよ．
(2)$k$が$\displaystyle k \neq \frac{1}{3}$を満たす実数で，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．

$a$を$\displaystyle 0 < \alpha <\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．円$C : x^2 + (y+ \sin \alpha)^2 = 1$および，その中心を通る直線$\ell :y= (\tan \alpha) x - \sin \alpha$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と円$C$の2つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(2)等式
\[ 2\int_{\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx+ \int_{-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \]
が成り立つことを示せ．
(3)連立方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \leqq (\tan \alpha)x-\sin \alpha \\
x^2+(y+\sin \alpha)^2 \leqq 1
\end{array}
\right. \]
の表す$xy$平面上の図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

$\triangle$ABC の外心をOとし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{c}$とおく．$|\overrightarrow{a}| = 1$とする．点Oに関する点Pの位置ベクトルが$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$であるとする．

(1)直線APと直線BCは垂直に交わることを示せ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -\frac{3}{4}$とする．OP$\para$ABのとき，$\overrightarrow{c}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$となる実数$s,\ t$を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-1$上にない点$\mathrm{P}(a,\ b)$をとる．放物線$C$上の点$\mathrm{Q}$に対し直線$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{Q}$での$C$の接線と垂直に交わるとき，直線$\mathrm{PQ}$を$\mathrm{P}$から$C$への垂線という．点$\mathrm{P}(a,\ b)$から$C$へ$3$本の異なる垂線が引けるための$a,\ b$に関する条件を求めよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が次のように定められている．
\begin{eqnarray}
& & a_1 = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad b_1 =\frac{1}{2} \nonumber \\
& & a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{\sqrt{3}}{2}b_n \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber \\
& & b_{n+1} = -\frac{\sqrt{3}}{2}a_n + \frac{1}{2}b_n \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}

(1)$a_n^2 +b_n^2$を求めなさい．
(2)$a_{n+3}$と$a_n$の関係式および$b_{n+3}$と$b_n$の関係式をそれぞれ求めなさい．
(3)$a_n,\ b_n$を求めなさい．

だ円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}= 1 (a > 0,\ b > 0)$の外側の点$\mathrm{P}(r,\ s)$から$C$に引いた$2$つの接線が常に直交するとき，そのような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めなさい．