平面上で，線分ABを$1:2$に内分する点をO，線分ABを$1:4$に外分する点をCとする．Pを直線AB上にない点とし，$\overrightarrow{\mathrm{PO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$が垂直であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PO}},\ \overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$|\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|$で表せ．
(3)$\text{PA}=1,\ \triangle \text{PAB}$の面積が$\displaystyle \frac{3}{2}$のとき，PBの長さを求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0$のとき，不等式$\displaystyle 1-\cos \frac{\pi}{2} \leqq \frac{x^2}{8}$を示せ．
(2)$\displaystyle I_n = \int_0^2 x^ne^x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$I_1$の値を求めよ．さらに，等式$I_n=2^n e^2-nI_{n-1} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(3)$I_2,\ I_3,\ I_4$および$I_5$の値を求めよ．
(4)不等式$\displaystyle \int_0^4 \left( 1-\cos \frac{x}{2} \right) e^{\sqrt{x}} \, dx \leqq -2e^2+30$を示せ．

次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して，$\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．また
\[ \frac{1}{n+1} < \log (n+1) -\log n < \frac{1}{n} \]
を示せ．
(2)2以上の自然数$n$に対して
\[ \log (n+1) < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} < 1+\log n \]
を示せ．
(3)2以上の自然数$n$に対して
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{ee^{\frac{1}{2}}e^{\frac{1}{3}} \cdots e^{\frac{1}{k}}} > \frac{1}{e} \log (n+1) \]
を示せ．

数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots$は
\[ a_{n+1} = \frac{2a_n}{1-a_n^2},\quad n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots \]
をみたしているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$とするとき，$a_{10}$および$a_{11}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \tan \frac{\pi}{12}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle a_1 = \tan \frac{\pi}{7}$とする．$a_k = a_1$をみたす$2$以上の自然数$k$で最小のものを求めよ．

次の定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int_0^\pi \cos mx \; \cos nx \; dx$\quad ただし，$m,\ n$は自然数である．
(2)$\displaystyle \int_1^3 \left(x-\frac{1}{x} \right) (\log x)^2 \, dx$

次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式を証明せよ．
\[ 1-x^2 \leqq e^{-x^2} \leqq 1 \]
(2)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^2e^{-(\frac{x}{n})^2} \; dx$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が次の条件を満たしているものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
\sqrt{\frac{1}{2}} \\
\sqrt{\frac{3}{2}}
\end{array} \right) \quad A \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
-\sqrt{\frac{3}{2}} \\
\sqrt{\frac{1}{2}}
\end{array} \right) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$および$A^2$を求めよ．
(2)Oを座標平面上の原点とし，Oと異なる点P$(x_1,\ y_1)$があり，他の2点Q$(x_2,\ y_2)$，R$(x_3,\ y_3)$に対して次の関係があるとする．
\[ \left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right) = A^3 \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right) \qquad \left( \begin{array}{c}
x_3 \\
y_3
\end{array} \right) = A^{-1} \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right) \]
このとき，三角形OQRが正三角形であることを証明せよ．
(3)点P，Qは(2)と同じものとする．$\angle \text{OPQ}$の大きさを求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，方程式
\[ 2 \sin 2\theta = \tan \theta + \frac{1}{\cos \theta} \]
を解け．
(2)正四面体ABCDにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{d}$とし，辺AB，AC，CD，BDの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．このとき4点P，Q，R，Sは同一平面上にあることを示し，さらに四角形PQRSは正方形になることを示せ．

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1 =\frac{1}{2},\ a_{n+1} = \frac{(n^2 +n)a_n}{n^2 +n+a_n} \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1-a_n}{a_n}$で与えられるとき，$b_1,\ b_2,\ b_3$の値を求めよ．
(2)(1)における$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$の一般項，および$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)不等式
\[ \sum_{k=2}^n \frac{a_k}{3k+1} < \frac{1}{18} \log \frac{9n^2}{8} \]
が成り立つことを示せ．ただし，$n \geqq 2$とする．

次の問いに答えよ．

(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．