次の問いに答えよ．

(1)$g,\ m,\ n$を実数とし，$\displaystyle g= 2^{\frac{702+m}{1200}},\quad \frac{1}{2^6}g^{12}=2^{\frac{1200+n}{1200}}$とする．

\mon[\maru{1}] $g^4=5$となる$m$を求めよ．ただし，$\log_2 5 = 2.32$として計算せよ．
\mon[\maru{2}] $m$を用いて$n$を表せ．

(2)定積分$\displaystyle \int_0^{1200} 2^{\frac{1200+x}{1200}}\, dx$を求めよ．

平面上の相異なる3点O，A，Bに対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{q}=\frac{-\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{4}$とする．また，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$であるような2点P，Qをとる．$|\overrightarrow{p}|=4,\ |\overrightarrow{q}|=1$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(2)2点A，Bを通る直線と，2点P，Qを通る直線が直交するとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(3)$\triangle$OABの面積が最大になるとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角$\theta$を求めよ．

実数$x$に対して$k \leqq x < k+1$を満たす整数$k$を$[\,x\,]$で表す．たとえば，
\[ [\,2\,] = 2,\quad \left[\,\frac{5}{2}\,\right]=2,\quad [\,-2.1\,]=-3 \]
である．

(1)$\displaystyle n^2-n-\frac{5}{4}<0$を満たす整数$n$をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle [\,x\,]^2-[\,x\,]-\frac{5}{4}<0$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(3)$x$は$(2)$で求めた範囲にあるものとする．$\displaystyle x^2-[\,x\,]-\frac{5}{4}=0$を満たす$x$をすべて求めよ．

曲線$C:(x-2)^2+y^2=1$と直線$\ell: y=(\tan \theta)x$を考える．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$とする．$f(\theta)$を次の(ア)，(イ)，(ウ)のように定める．

\mon[(ア)] $C$と$\ell$の共有点の個数が1のとき，$f(\theta)$は共有点と原点の距離とする．
\mon[(イ)] $C$と$\ell$の共有点の個数が2以上のとき，$f(\theta)$は共有点と原点の距離のうち最も小さいものとする．
\mon[(ウ)] $C$と$\ell$が共有点を持たないとき，$f(\theta)=0$とする．

さらに，$C$と$\ell$が共有点を持つ$\theta$の最大値を$\alpha$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が共有点を持つとき，$f(\theta)$を求めよ．
(3)次の積分を計算せよ．
\[ \int_0^\alpha \{f(\theta)\}^2 \, d\theta \]

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x^3-x^2$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=x^3-x^2$の接線で，点$\left(\displaystyle \frac{3}{2},\ 0 \right)$を通るものをすべて求めよ．
(3)$p$を定数とする．$x$の$3$次方程式$\displaystyle y=x^3-x^2=p\left(x-\frac{3}{2}\right)$の異なる実数解の個数を求めよ．

$n$を$2$以上の自然数として，
\[ S_n= \sum_{k=n}^{n^3-1}\frac{1}{k\log k} \]
とおく．以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_n^{n^3} \frac{dx}{x\log x}$を求めよ．
(2)$k$を$2$以上の自然数とするとき，
\[ \frac{1}{(k+1)\log (k+1)} < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k\log k} \]
を示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$の値を求めよ．

三角形OABの辺ABを$1:2$に内分する点をCとする．動点Dは$\overrightarrow{\mathrm{OD}} = x \overrightarrow{\mathrm{OA}} \ (x \geqq 1)$を満たすとし，直線CDと直線OBの交点をEとする．

(1)実数$y$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}} = y \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定めるとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 3 \]
(2)三角形OABの面積を$S$，三角形ODEの面積を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の最大値と，そのときの$x$を求めよ．

$a$を実数，$z$を0でない複素数とする．$z$と共役な複素数を$\overline{z}$で表す．

(1)次を満たす$z$を求めよ．
\[ z-1-\frac{a}{z} = 0 \]
(2)次を満たす$z$が存在するような$a$の範囲を求めよ．
\[ \overline{z}+1-\frac{a}{z}= 0 \]
(3)次を満たす$z$が存在するような$a$の範囲を求めよ．
\[ z(\overline{z})^2 + \overline{z} -\frac{a}{z}= 0 \]

$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B},\ \angle \text{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A+C}{2}$および$\displaystyle \cos \frac{B}{2}= \sin \frac{A+C}{2}$が成立することを示せ．
(2)$a+c = 2b$を満たすとき，$\sin A+ \sin C = 2 \sin B$が成立することを示せ．
(3)$a+c = 2b$を満たすとき，$\displaystyle \sin A+ \sin C = 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}$を用いて$\displaystyle \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$の値を求めよ．

$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B},\ \angle \text{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A+C}{2}$および$\displaystyle \cos \frac{B}{2}= \sin \frac{A+C}{2}$が成立することを示せ．
(2)$a+c = 2b$を満たすとき，$\sin A+ \sin C = 2 \sin B$が成立することを示せ．
(3)$a+c = 2b$を満たすとき，$\displaystyle \sin A+ \sin C = 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}$を用いて$\displaystyle \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$の値を求めよ．