実数$x$の小数部分を，$0 \leqq y<1$かつ$x-y$が整数となる実数$y$のこととし，これを記号$\langle x \rangle$で表す．実数$a$に対して，無限数列$\{a_n\}$の各項$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように順次定める．
\[ a_1=\langle a\rangle \]
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_n \neq 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}= \displaystyle \left\langle \frac{1}{a} \right\rangle \\
a_n = 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}=0
\end{array}
\right.
\]

(1)$a=\sqrt{2}$のとき，数列$\{a_n\}$を求めよ．
(2)任意の自然数$n$に対して$a_n=a$となるような$\displaystyle \frac{1}{3}$以上の実数$a$をすべて求めよ．
(3)$a$が有理数であるとする．$a$を整数$p$と自然数$q$を用いて$\displaystyle a=\frac{p}{q}$と表すとき，$q$以上のすべての自然数$n$に対して，$a_n=0$であることを示せ．

$i=\sqrt{-1}$とする．以下の問に答えよ．

(1)実数$\alpha,\ \beta$について，等式
\[ (\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta) = \cos(\alpha+\beta)+i\sin (\alpha+\beta) \]
が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，
\[ z=\sum_{k=1}^n \left( \cos \frac{2\pi k}{n}+ i \sin \frac{2\pi k}{n} \right) \]
とおくとき，等式
\[ z \left(\cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n} \right) = z \]
が成り立つことを示せ．
(3)2以上の自然数$n$について，等式
\[ \sum_{k=1}^n \cos \frac{2\pi k}{n} = \sum_{k=1}^n \sin \frac{2\pi k}{n} = 0 \]
が成り立つことを示せ．

数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots$は
\[ a_{n+1} = \frac{2a_n}{1-a_n^2}, \quad n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \]
をみたしているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$とするとき，一般項$a_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle \tan \frac{\pi}{12}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle a_1=\tan \frac{\pi}{20}$とするとき，
\[ a_{n+k} = a_n, \quad n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots \]
をみたす最小の自然数$k$を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{4}$，外接円の半径は$1$，$\angle \mathrm{BAC} = 60^\circ,\ \mathrm{AB} > \mathrm{AC}$である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の各辺の長さを求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$において，$|\cos x|=\sin x$を満たす$x$を求め，$0 \leqq x \leqq \pi$において，$\cos(\cos x),\ \cos(\sin x)$の大小を比較せよ．
(2)$\displaystyle \alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ \alpha+\beta<\frac{\pi}{2}$のとき，$\cos \alpha > \sin \beta$となることを示し，$0 \leqq x \leqq \pi$において，$\cos (\cos x)> \sin (\sin x)$を示せ．

1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，3辺OA，OB，AC上にそれぞれ点D，E，Fを$\displaystyle \text{OD}=\frac{1}{2},\ \text{OE} = t \ (0 < t < 1),\ \text{AF} =\frac{2}{3}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}},\ \overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DF}}$のとき，$t$の値を求めよ．
(3)3点D，E，Fが定める平面が直線BCと交わる点をGとするとき，線分BGの長さを$t$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)複素数$\displaystyle \frac{2+i}{(1+3i)(4-i)}$の虚部を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x \frac{6}{t^2+7t+10}\, dt$について$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$を求めよ．
(3)30階建てのビルの11階にある人物Aがいる．Aは硬貨を投げて，表が出れば1階上へ，裏が出れば1階下へ移動する．硬貨を10回投げた後，Aが6階より下の階にいる確率を求めよ．

座標空間内で4点O$(0,\ 0,\ 0),\ \text{A}(1,\ 0,\ 0),\ \text{B}(0,\ 1,\ 0),\ \text{C}(0,\ 0,\ 1)$を頂点とする四面体OABCを考える．線分ABを$m:(1-m)$に内分する点をP，線分OPを$s:(1-s)$に内分する点をQ，線分CPを$u:(1-u)$に内分する点をRとする．また，線分ABの中点をHとし，点Rを通り線分OPに垂直に交わる直線と線分OPとの交点をIとする．$\angle \text{OQC}$と$\angle \text{IQR}$が等しいとき，次の問いに答えよ．

(1)点Rの座標を$m,\ u$を用いて表せ．
(2)$s$を$u$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HR}}=a\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}+b \frac{\overrightarrow{\mathrm{HC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{HC}}|}$と表すとき，この$a,\ b$を用いて$s,\ m$を表せ．

$\displaystyle f(x) = \frac{3\sqrt{3}}{4}-\sin 2x, g(x)=\frac{3\sqrt{3}}{4}-2\cos x$とする．

(1)関数$\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2$の不定積分を求めよ．
(2)すべての実数$x$に対して，不等式$\sin 2x \leqq a-2\cos x$が成り立つような定数$a$の中で最小の値を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2|\, dx$を求めよ．

実数$x$に対して$k \leqq x < k+1$を満たす整数$k$を$[\,x\,]$で表す．たとえば，
\[ [\,2\,] = 2,\quad \left[\,\frac{5}{2}\,\right]=2,\quad [\,-2.1\,]=-3 \]
である．

(1)$n^2-5n+5<0$を満たす整数$n$をすべて求めよ．
(2)$[\,x\,]^2-5[\,x\,]+5<0$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(3)$x$は(2)で求めた範囲にあるものとする．$x^2-5[\,x\,]+5=0$を満たす$x$をすべて求めよ．