別々に製造される部品$\mathrm{A}$と部品$\mathrm{B}$を$1$個ずつ組み合わせて製造する製品がある．製品の不良は各部品の不良のみに由来し，部品$\mathrm{A}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．製品を製造した後，検査するまで各部品が不良であるかどうかは分からないとする．以下の問いに答えよ．

(1)合格品（不良が無い製品）が製造される確率を求めよ．
(2)製品を$5$個製造した後，検査を行ったとき，$4$個以上が合格品である確率を求めよ．
(3)この製品$1$個の販売価格は$1,200$円である．また，部品$\mathrm{A}$の$1$個あたりの製造費用は$300$円であり，部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円である．製品$1$個あたりの利益は，以下の式で計算される．

（製品$1$個あたりの利益）$=$（販売価格）$-$（製品$1$個あたりの費用）

製品$1$個あたりの費用が部品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の製造費用のみと考えてよいとき，製品$1$個あたりの利益の期待値を求めよ．なお，不良品（不良のある製品）は販売しないため，上式の（販売価格）項が$0$となり負の利益（損失）が生じることを考慮せよ．
(4)新たに工作機械を導入することで，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率を$\displaystyle \frac{1}{8}$にすることができる．しかし，この工作機械の導入費用として$500,000$円が必要であり，これに加えて部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円増加する．$10,000$個製品を製造するとき，工作機械を導入する場合としない場合でどちらが有利か，工作機械を導入する場合の製品$1$個あたりの利益の期待値を示した上で判定せよ．ただし，工作機械の導入費用は$10,000$個の製品の製造でまかなうものとする．また，販売価格および部品$\mathrm{A}$の製造費用は(3)と同じとする．

次の各問に答えよ．

(1)箱の中に，$1$から$9$までの番号を$1$つずつ書いた$9$枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱から$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$X$とする．これらのカードを箱に戻して，再び$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$Y$とする．$X=Y$である確率を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}(x+1)\sqrt{1-2x^2}\, dx$を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，行列$\left(
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & c
\end{array}
\right)$に
よって表される$1$次変換を$T$とする．この$1$次変換$T$が$2$つの条件

(1)点$(1,\ 2)$を点$(1,\ 2)$に移す
(2)点$(1,\ 0)$と点$(0,\ 1)$が$T$によって点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$にそれぞれ移るとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle\frac{1}{2}$である

を満たすとき，$a,\ b,\ c$を求めよ．

$xy$平面上で，$y=x$のグラフと$\displaystyle y=|\displaystyle\frac{3|{4}x^2-3}-2$のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．

$n$は$2$以上の整数であり，$\displaystyle\frac{1}{2} < a_j < 1\ (j=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$であるとき，不等式
\[ (1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_n) > 1- \left( a_1+ \frac{a_2}{2}+ \cdots +\frac{a_n}{2^{n-1}} \right) \]
が成立することを示せ．

$x$の3次関数$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$が，3つの条件
\[ f(1) = 1, f(-1)=-1, \int_{-1}^{1}(bx^2+cx+d)\, dx=1 \]
を全て満たしているとする．このような$f(x)$の中で定積分
\[ I = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} \{f^{\ \prime\prime}(x) \}^2\, dx \]
を最小にするものを求め，そのときの$I$の値を求めよ．ただし，$f^{\prime\prime}(x)$は$f^\prime(x)$の導関数を表す．

実数$x$の小数部分を，$0 \leqq y<1$かつ$x-y$が整数となる実数$y$のこととし，これを記号$\langle x \rangle$で表す．実数$a$に対して，無限数列$\{a_n\}$の各項$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように順次定める．
\[ a_1=\langle a\rangle \]
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_n \neq 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}= \displaystyle \left\langle \frac{1}{a} \right\rangle \\
a_n = 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}=0
\end{array}
\right.
\]

(1)$a=\sqrt{2}$のとき，数列$\{a_n\}$を求めよ．
(2)任意の自然数$n$に対して$a_n=a$となるような$\displaystyle \frac{1}{3}$以上の実数$a$をすべて求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)自然数$x,\ y$は，$1<x<y$および
\[ \left( 1+ \frac{1}{x} \right) \left( 1+\frac{1}{y} \right) = \frac{5}{3} \]
をみたす．$x,\ y$の組をすべて求めよ．
(2)自然数$x,\ y,\ z$は，$1<x<y<z$および
\[ \left( 1+ \frac{1}{x} \right) \left( 1+\frac{1}{y} \right) \left( 1+\frac{1}{z} \right) = \frac{12}{5} \]
をみたす．$x,\ y,\ z$の組をすべて求めよ．

点Oを中心とする半径$r$の円周上に，2点A，Bを$\angle \text{AOB} < \displaystyle\frac{\pi}{2}$となるようにとり$\theta = \angle \text{AOB}$とおく．この円周上に点Cを，線分OCが線分ABと交わるようにとり，線分AB上に点Dをとる．また，点Pは線分OA上を，点Qは線分OB上を，それぞれ動くとする．

(1)$\text{CP}+\text{PQ}+\text{QC}$の最小値を$r$と$\theta$で表せ．
(2)$a=\text{OD}$とおく．$\text{DP}+\text{PQ}+\text{QD}$の最小値を$a$と$\theta$で表せ．
(3)さらに，点Dが線分AB上を動くときの$\text{DP}+\text{PQ}+\text{QD}$の最小値を$r$と$\theta$で表せ．

$xy$平面上で，連立不等式
\[\left\{
\begin{array}{l}
|x| \leqq 2 \\
y \geqq x \\
y \leqq |\ \displaystyle\frac{3}{4}x^2-3\ |-2
\end{array}
\right.
\]
を満たす領域の面積を求めよ．