座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円$C$を考える．円$C$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$，点$\mathrm{R} \displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた放物線と，線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)(2)で求めた部分の面積は，点$\mathrm{Q}$が弧の上にある扇形$\mathrm{OPR}$の面積より小さい．このことを用いて，円周率$\pi$に対して$\pi > 3.13$が成り立つことを示せ．ただし，$\sqrt{3}<1.733$であることを用いてよい．

第$1$象限において，方程式$x^2+y^2=1$で与えられる図形を$C$で表す．方程式$\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$で与えられる直線を$\ell$で表す．ただし，$a$と$b$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$b<1$のとき，図形$C$と直線$\ell$が共有点を持たないような$a$の範囲を求めよ．
(2)$b>1$のとき，図形$C$と直線$\ell$が共有点を持たないのは，$a$と$b$がどのような関係をみたすときか．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円において扇形$\mathrm{OAB}$を考える．ただし，点$\mathrm{A}$は$(1,\ 0)$であり，点$\mathrm{B}$は第$1$象限にあるとする．扇形$\mathrm{OAB}$の中心角は，$x$ラジアン$\displaystyle \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$であるとする．点$\mathrm{B}$から$\mathrm{OA}$におろした垂線を$\mathrm{BC}$，点$\mathrm{A}$における円の接線が，点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{B}$を通る直線と交わる点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ODA}$，三角形$\mathrm{OAB}$，扇形$\mathrm{OAB}$の面積を，$x$を用いてそれぞれ表せ．
(2)不等式$\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to +0}\frac{\sin x}{x}=1$を示せ．ただし，$x \to +0$は，$x$が正の値をとりながら限りなく$0$に近づくことを表す．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \, dx=[　]$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x \, dx=[　]$

(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 3)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ -1)$に対して，$|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$は$t=[　]$のとき，最小値$[　]$をとる．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$において$\sin 2\theta-2 \cos \theta=0$のとき，$\theta=[　]$である．
(4)不等式$\log_3(2x-3)<2$をみたす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(5)$4$つの袋があり，各袋に赤，青，黄の玉が$1$つずつ入っている．各袋から$1$つずつ玉を取り出すとき，取り出した$4$つの玉がすべて同じ色である確率は$[　]$であり，$2$種類の色である確率は$[　]$である．

$n$と$k$を自然数，$t$を正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int x \sin tx \, dx$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2}{t}\pi} |x \sin tx| \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle I_k(t)=\int_{\frac{k-1}{t}\pi}^{\frac{k}{t}\pi} |x \sin tx| \, dx$を，$k$が偶数である場合に求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2n}{t}\pi} |x \sin tx| \, dx$を求めよ．

$\displaystyle a_1=1,\ a_{n+1}=\frac{a_n}{2+a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める数列$\{a_n\}$を考える．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{ka_k}{1+a_k}$を$n$の式で表せ．

$a<-2$とする．関数$f(x)=e^x-e^{-x}+ax$を考える．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x}{e^x}=0$であることを用いてよい．
(2)$y=f(x)$のグラフは$x$軸と異なる$3$点で交わることを示せ．

行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -2 \sin \theta \\
\displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$A^2$を求めよ．
(2)$A^6=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$となる$\theta$を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．

曲線$\displaystyle C_1:y=\frac{e}{2}x^2+\frac{e}{2}$，$C_2:y=e^x$について，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$がただ一つの共有点をもつことを示せ．
(2)$C_1,\ C_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xy$平面上の点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して，ベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を各々$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と定める．次の問に答えなさい．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$x,\ y$を用いて表しなさい．

(2)$\displaystyle \frac{x^2+y^2-1}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}\sqrt{(x+1)^2+y^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合を図示しなさい．