$2$つの関数
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x} \quad (\text{定義域は}-\pi<x<\pi) \nonumber \\
& & g(x)=\int_0^x \frac{2}{1+t^2} \, dt \quad (\text{定義域は実数全体}) \nonumber
\end{eqnarray}
と，これらの合成関数$h(x)=g(f(x))$を考える．次の各問に答えよ．

(1)$f(x),\ g(x),\ h(x)$のそれぞれの導関数を求めよ．
(2)$h(x)$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2+\sqrt{3}}} \frac{2}{1+t^2} \, dt$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{6}{3-\sqrt{3}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a^2+b^2$の値を求めよ．
(2)$(x+2)^{12}$の展開式における最大の係数の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$4$，$5$，$6$である三角形に内接する円の半径を求めよ．

関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=x^2+\int_{-1}^1 f(t) \, dt$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上に2つの点P，Qがある．Pの$x$座標を$a$，Qの$x$座標を$b$とする．ただし，$a<b$とする．Pにおける$C$の接線と直交しPを通る直線を$\ell$，Qにおける$C$の接線と直交しQを通る直線を$m$，PとQを通る直線を$n$とする．$\ell$と$m$の交点をRとする．$\displaystyle \angle \text{PRQ}=\frac{\pi}{2}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle f(x)=x^2+\int_{-1}^1 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ．
(2)Rの$x$座標を$a$を用いて表せ．
(3)Rが$y$軸上にあるとき，$n$および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

$2$つの放物線$\displaystyle C_1:y=x^2,\ C_2:y=-\frac{1}{2}x^2+3x+\frac{9}{2}$がある．$C_1$と$C_2$の$2$つの交点を通る直線を$\ell_1$とする．以下の各問に答えよ．

(1)$\ell_1$の式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1$と$\ell_1$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．この$2$つの面積の比$S_1:S_2$を求めよ．
(3)$\ell_1$と平行な直線$\ell_2$がある．$C_1$と$\ell_2$で囲まれた図形の面積$S_3$が$\displaystyle \frac{9}{2}$であるとき，$\ell_2$の式を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$a>0,\ b>0$のとき，不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$を証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2)$2\log_{10}u+\log_{10}v=1$とする．$u^3+uv^2$の最小値とそのときの$u,\ v$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面がある．この平面上に(2)で求めた$u,\ v$からなる点$\mathrm{A}(u,\ v)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$と$30^\circ$の角をなす直線の方程式をすべて求めよ．

$k$を定数とする．関数$f(\theta)=\cos 2\theta+4k \sin \theta+3k-3$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \pi \right),\ f \left( \frac{3}{2} \pi \right)$を求めよ．
(2)$x= \sin \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表せ．
(3)$-1 \leqq k \leqq 1$のとき，$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(4)すべての$\theta$に対して常に$f(\theta) \leqq 0$となる$k$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(i) $(a+b)(b+c)(c+a)$の値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \frac{1}{a^7}+\frac{1}{b^7}+\frac{1}{c^7}=\frac{1}{a^7+b^7+c^7}$が成り立つことを示せ．

(2)$a,\ b,\ c$が正の数で，$a \neq 1,\ c \neq 1$のとき，次の等式が成り立つことを示せ．$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$
(3)不等式$9^x+3^{x+1}-4 \leqq 0$を解け．

五角形$\mathrm{OABCD}$において，$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{3\pi}{4}$，$\mathrm{OA}=\mathrm{OD}=1$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$が成り立つとする．$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{AC}$を$m:1-m$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$0<m<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{d}$で表せ．
(2)$\cos \angle \mathrm{BOP}$を求めよ．
(3)$\displaystyle m \neq \frac{1}{4}$のとき，三角形$\mathrm{OBP}$の面積を求めよ．

三角形ABCにおいて$\angle \text{A}=\theta,\ \angle \text{B}=2\theta$であるとする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\lceil \ \cdot \ \rfloor$はベクトルの内積を表す．

(1)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}$を，$\cos \theta$を用いて表せ．
(2)次式が最大となるときの$\cos \theta$を求めよ．
\[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{CB}}||\overrightarrow{\mathrm{CA}}|} \]
(3)$\angle \text{B}$の二等分線と辺ACとの交点をDとしたとき，次式を満たす$\theta$を求めよ．
\[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{CB}}||\overrightarrow{\mathrm{CA}}|} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AD}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BD}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{DB}}||\overrightarrow{\mathrm{DA}}|} \]