$x$の3次関数$f(x)=2x^3-3x^2$について，曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=f(|x|)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$のグラフを描け．
(2)$a$を実数とする．曲線$C_1$の接線のなかで点$(0,\ a)$を通る接線の本数を求めよ．
(3)曲線$C_2$のグラフの概形を描け．
(4)$b$は$\displaystyle b>\frac{1}{2}$を満たす実数とする．曲線$C_2$の接線のなかで点$(b,\ 4)$を通る接線の本数を求めよ．

実数$m$が$m>-1$を満たすとき，直線$\ell:y=mx$と放物線$C:y=x^2-x$の$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$における$C$の接線と点$\mathrm{Q}$における$C$の接線の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(2)$\ell$と$C$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めなさい．

楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>0,\ b>0)$上の点P$(x_0,\ y_0) (0 < x_0 < a,\ y_0>0)$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれA，Bとする．以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle \frac{\ x_0^2 \ }{a^2}=t$とおくとき，線分ABの長さ$\overline{AB}$を$a,\ b,\ t$を用いて表しなさい．
(2)$0<x_0<a$における$\overline{AB}$の最小値を求めなさい．また，そのときのPの座標を求めなさい．

$n$を正の整数とし，$n^2+3$と$n+1$の最大公約数を$d_n$とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)$d_1,\ d_2,\ d_3,\ d_4,\ d_5$を求めなさい．
(2)$(n^2+3)-(n-1)(n+1)=4$を用いて，$d_n$は$1,\ 2,\ 4$のいずれかであることを示しなさい．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{610} d_n$を求めなさい．
(4)次の極限値を求めなさい．
\[ \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{n=1}^k d_n \]

$e$は自然対数の底とする．$f(x)=x \log x$（$x>0,\ \log x$は$x$の自然対数）とおく．$t>e$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$における接線の傾きが$\log t$となるとき，$\mathrm{A}$の$x$座標$a(t)$を求めなさい．
(2)$x \geqq 1$の範囲において，曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a(t)$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めなさい．
(3)$t \to \infty$のとき，$\displaystyle \frac{S(t)}{t^p \log t}$が$0$でない値に収束するような正の定数$p$の値を求めなさい．また，そのときの$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{t^p \log t}$を求めなさい．

次の各問に答えよ．

(1)$x^3-2x^2+7x-1=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+c$が$x$についての恒等式であるとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)方程式$|x|+3 |x-2|=x+1$を解け．
(3)平行四辺形OABCにおいて，辺AB上に点Dを
\[ \text{AD}:\text{DB}=2:1 \]
を満たすようにとり，BCの中点をEとする．直線ODと直線AEとの交点をFとするとき，線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{OF}}{\text{OD}},\ \frac{\text{AF}}{\text{AE}}$を求めよ．
(4)定数$a$を含む開区間で定義された関数$y=f(x)$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$の定義を書け．また，その定義に従って，実数全体で定義された関数$f(x)=x^2$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$を求めよ．

$x$の$2$次方程式$x^2-2x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha < \beta)$とし，正の整数$n$に対して
\[ x_n = \frac{\beta^n - \alpha^n}{2\sqrt{2}} \]
とおく．次の各問に答えよ．

(1)$x_1,\ x_2$を求めよ．
(2)$x_{n+2}=2x_{n+1}+x_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)$x_{3n}$は$5$の倍数であることを証明せよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x-2}{x+1}$について，次の各問に答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$f(x)$の極大値，極小値およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$0<x<\pi$において，方程式$\sin x -x \cos x-1=0$はただ1つの実数解$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$をもつことを証明せよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{x+\cos x}{\sin x}$の$0<x<\pi$における最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$a$を定数とする．方程式$x+\cos x-a \sin x=0$の$0<x<\pi$における異なる実数解の個数を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)放物線$y=x^2-ax+3$の頂点が直線$y=3x+5$上にあるとき，定数$a$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_9\sqrt{2}+\frac{1}{2}\log_9 \frac{1}{3}-\frac{3}{2}\log_9 \sqrt[3]6$を簡単にせよ．
(3)曲線$y=\sqrt{x-1}$上の点$(2,\ 1)$における接線を$\ell$とする．この曲線と$x$軸および接線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が$A^2-4A+3E=O$を満たすとき，$a+d$の値を求めよ．ただし，$O$は零行列，$E$は単位行列である．