あるイベントが，金曜日，土曜日，日曜日に，$1$日$1$回ずつ計$3$回開催される．参加するためには，当日に会場でチケット抽せん申し込みをして，その場で当せんする必要がある．また，一度当せんしたら，それ以降の開催日の抽せんには申し込みできない．当せん確率は，金曜日は$\displaystyle \frac{1}{3}$，土曜日は$\displaystyle \frac{1}{5}$，日曜日は$\displaystyle \frac{1}{7}$である．

$\mathrm{A}$は金曜日から抽せんに申し込み，金曜日にはずれたら必ず土曜日に，土曜日にはずれたら日曜日にも抽せん申し込みをする．
$\mathrm{B}$は土曜日から抽せんに申し込み，はずれたら必ず日曜日にも抽せん申し込みをする．

(1)$\mathrm{A}$がいずれかの日にイベントに参加できる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が同日にイベントに参加できる確率を求めよ．
(3)各日のチケットの金額は，金曜日は$3000$円，土曜日は$5000$円，日曜日は$7000$円である．$\mathrm{A}$が支払う金額の期待値を求めよ．

次の文章内の$[ア]$～$[コ]$に適当な式または数値を入れよ．ただし，$[ク]$～$[コ]$はそれぞれ$3$つの自然数の組である．

(1)$xy$平面上で，点$(-1,\ 0)$を通る傾き$t$の直線を考える．この直線が円$x^2+y^2=1$と点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）で交わるとき，$y$は$t$と$x$で，
\[ y=[ア] (ⅰ) \]
のように表される．この式を円の方程式$x^2+y^2=1$に代入して，$x$に関する$2$次方程式$[イ]=0$を得る．
この方程式を解いて，
\[ x=[ウ] (ⅱ) \]
を得る．また，式$(ⅰ)$から，
\[ y=[エ] (ⅲ) \]
となる．ただし，$t$の範囲は$0<t<[オ]$である．
(2)円$x^2+y^2=1$上の点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）の各座標がともに有理数であるとき，式$(ⅰ)$より$t$は有理数である．よって，$m,\ n$（ただし，$m>n$）を互いに素な自然数として$\displaystyle t=\frac{n}{m}$と表せば，式$(ⅱ)$，$(ⅲ)$より点$(x,\ y)$は
\[ x=\frac{[カ]}{m^2+n^2},\quad y=\frac{[キ]}{m^2+n^2} \]
と表される．
(3)等式$a^2+b^2=c^2$が成り立つような$3$つの自然数の組$(a,\ b,\ c)$（ただし，$a<b$）で，$a,\ b,\ c$の最大公約数が$1$，かつ$a<9$である組は
$(a,\ b,\ c)=(3,\ 4,\ 5),\ [ク],\ [ケ],\ [コ]$の$4$つである．

半径$1$の円$C$上にある点$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$が，円$C$と点$\mathrm{P}$以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とする．また，点$\mathrm{P}$で円$C$と接する直線を$m$とし，点$\mathrm{Q}$を通り直線$m$と垂直に交わる直線を$n$とする．さらに，直線$m$と直線$n$との交点を$\mathrm{R}$，円$C$と直線$n$とが点$\mathrm{Q}$以外で交わる点を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=1:2$，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{4 \sqrt{5}}{5}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{RQ}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PSQ}$の面積を求めよ．
(3)直線$\ell$上に点$\mathrm{T}$をとる．そして，この点$\mathrm{T}$は，円$C$の外部に位置しているものとし，線分$\mathrm{TQ}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}$とする．また，点$\mathrm{T}$から円$C$に接線を引き，その接点を$\mathrm{U}$とする．このとき，線分$\mathrm{TU}$の長さを求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正方形の紙を用意し，頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．次の図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ$x$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{ABE}$，$\triangle \mathrm{BCF}$，$\triangle \mathrm{CDG}$，$\triangle \mathrm{DAH}$を正方形から切り取り，残りを図の$4$本の線分$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$，$\mathrm{GH}$，$\mathrm{HE}$にそって折り曲げて，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が$1$点になるように辺を合わせて四角錐を作るとする．ただし，$\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)この四角錐の底面となる正方形$\mathrm{EFGH}$の面積を求めよ．
(2)この四角錐の表面積となる図の斜線部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた四角錐の表面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，この四角錐の体積を求めよ．

$\displaystyle \left( x^3+\frac{2}{x^2} \right)^{10}$の展開式における$x^{15}$の係数を求めよ．

$xy=1000$，$x \geqq 10$，$\displaystyle y \geqq \frac{1}{10}$とする．

(1)$\log_{10}x$は，$x=\kakkofive{ア}{イ}{ウ}{エ}{オ}$のとき最大値$[カ]$をとる．
(2)$\log_{10}x \cdot \log_{10}y$は
\[ x=[キ][ク] \sqrt{[ケ][コ]},\quad y=[サ][シ] \sqrt{[ス][セ]} \]
のときに最大値$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$をとり，
\[ x=\kakkofive{チ}{ツ}{テ}{ト}{ナ},\quad y=\frac{[ニ]}{[ヌ][ネ]} \]
のときに最小値$[ノ][ハ]$をとる．

$a>0$とする．放物線$y=ax^2+bx+c$は$2$点$(1,\ 1)$，$(3,\ 2)$を通り，この放物線と$2$点$(1,\ 1)$，$(3,\ 2)$を通る直線で囲まれた図形の面積は$4$になるという．このとき
\[ a=[ア],\quad b=\frac{[イ][ウ][エ]}{[オ]},\quad c=\frac{[カ][キ]}{[ク]} \]
である．

三角形$\mathrm{ABC}$の角$\mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=x$とおく．$\mathrm{BD}=3$，$\mathrm{CD}=2$のとき，
\[ \cos \angle \mathrm{B}=\frac{x^2+[ア][イ]}{[ウ][エ]x} \]
である．さらに$\mathrm{AD}=2$であるならば
\[ \cos \angle \mathrm{B}=\frac{[オ] \sqrt{[カ][キ]}}{[ク]} \]
である．

一辺の長さ$1$の正六角形の頂点を時計まわりの順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．動点$\mathrm{P}$は最初は点$\mathrm{A}$上にある．コインを投げ，表が出たら$2$，裏が出たら$1$だけ$\mathrm{P}$を正六角形上で時計まわりに動かすゲームを考える．動点$\mathrm{P}$が最初にちょうど点$\mathrm{A}$上に戻ったときゲーム終了とする．


(1)ちょうど$1$周してゲーム終了となる確率は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}$である．

(2)ちょうど$2$周してゲーム終了となる確率は$\displaystyle \frac{[オ][カ][キ]}{\kakkofour{ク}{ケ}{コ}{サ}}$である．

次の問に答えなさい．

(1)実数$x,\ y$に関する以下の命題で正しいものは証明し，誤っているものは反例をあげなさい．

(i) $x$と$y$が共に無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．
(ii) $x$と$y$のいずれかが無理数であることは$x+y$が無理数であることの必要条件である．
(iii) $x$が有理数で$y$が無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．

(2)数列$\{a_n\}$を$a_1=1,\ a_2=1,\ a_n=a_{n-2}+a_{n-1} (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$で定義する．このとき，すべての正の整数$n$に対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
\[ a_n< \left( \frac{7}{4} \right)^n \]