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私立 久留米大学 2012年 第7問$f(x)=a \cos x$，$g(x)=\sin x$，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積を$S$，曲線$y=f(x)$，曲線$y=g(x)$，$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．
(1)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が$\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$で交わるとき，$a=[$17$]$，$\displaystyle \frac{S_1}{S}=[$18$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{S_1}{S}=\frac{2}{3}$のとき$a=[$19$]$となる．
(1)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が$\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$で交わるとき，$a=[$17$]$，$\displaystyle \frac{S_1}{S}=[$18$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{S_1}{S}=\frac{2}{3}$のとき$a=[$19$]$となる．
私立 久留米大学 2012年 第8問次の計算をすると，$\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}=[$20$]$となる．
私立 中央大学 2012年 第2問次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を$2$度以上用いてもよい．
$a$を$1$より大きい実数とする．$xy$平面において，$x$軸，$y$軸，直線$x=1$と曲線$y=a^x$で囲まれる部分の面積を近似的に計算したい．$n$を自然数とし，$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．また，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$f(x)>0$を満たす連続関数とする．
(1)$4$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$を頂点にもつ台形の面積を$M_k$とする．このとき$M_k=[キ]$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$S_n=M_1+M_2+\cdots +M_n$は$[ク]$となる．ここで，極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=[ケ]$を用いると，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=[コ]$と計算される．
(2)以下では，曲線$y=f(x)$は下に凸とする．
$3$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{2k-1}{2n},\ f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$を通る放物線を
\[ C_k:y=\alpha \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)^2+\beta \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)+\gamma \quad (\alpha,\ \beta,\ \gamma \text{は定数}) \]
とおく．$x$軸，直線$\displaystyle x=\frac{k-1}{n}$，直線$\displaystyle x=\frac{k}{n}$と放物線$C_k$で囲まれる部分の面積を$N_k$とおくとき，$N_k=[サ]$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$N_1+N_2+\cdots N_n$は$[シ]$となる．
\begin{itemize}
ケ，コの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua e^a \phantom{AA} & \marub e^{-a} \phantom{AA} & \maruc \displaystyle\frac{e^a}{a-1} \phantom{AA} & \marud (a-1)e^a \phantom{AA} & \marue (a-1)e^{-a} \\ \\
\maruf \log a & \marug \displaystyle\frac{1}{\log a} & \maruh \displaystyle\frac{\log a}{a-1} & \marui \displaystyle\frac{a-1}{\log a} & \maruj (a-1) \log a
\end{array} \]
キ，サの解答群
\mon[$\marua$] $\displaystyle \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\marub$] $\displaystyle \frac{1}{2n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\maruc$] $\displaystyle \frac{1}{3n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\marud$] $\displaystyle \frac{1}{4n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+2f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\marue$] $\displaystyle \frac{1}{5n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+3f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\maruf$] $\displaystyle \frac{1}{6n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+4f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
ク，シの解答群
\[ \begin{array}{ll}
\marua \displaystyle\frac{(a^n-1) \sqrt{a}}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marub \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{2n}}(a-1)}{n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\
\maruc \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marud \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\
\marue \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{2n(a-1)} & \maruf \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{2n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\
\marug \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruh \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{3n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\
\marui \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+2a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{4n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruj \displaystyle\frac{(a+3 \sqrt{a}+1)(a^n-1)}{5n(a-1)} \\ \\
\maruk \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+4a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{6n(a^\frac{1}{n}-1)} &
\end{array} \]
\end{itemize}
$a$を$1$より大きい実数とする．$xy$平面において，$x$軸，$y$軸，直線$x=1$と曲線$y=a^x$で囲まれる部分の面積を近似的に計算したい．$n$を自然数とし，$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．また，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$f(x)>0$を満たす連続関数とする．
(1)$4$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$を頂点にもつ台形の面積を$M_k$とする．このとき$M_k=[キ]$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$S_n=M_1+M_2+\cdots +M_n$は$[ク]$となる．ここで，極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=[ケ]$を用いると，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=[コ]$と計算される．
(2)以下では，曲線$y=f(x)$は下に凸とする．
$3$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{2k-1}{2n},\ f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$を通る放物線を
\[ C_k:y=\alpha \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)^2+\beta \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)+\gamma \quad (\alpha,\ \beta,\ \gamma \text{は定数}) \]
とおく．$x$軸，直線$\displaystyle x=\frac{k-1}{n}$，直線$\displaystyle x=\frac{k}{n}$と放物線$C_k$で囲まれる部分の面積を$N_k$とおくとき，$N_k=[サ]$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$N_1+N_2+\cdots N_n$は$[シ]$となる．
\begin{itemize}
ケ，コの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua e^a \phantom{AA} & \marub e^{-a} \phantom{AA} & \maruc \displaystyle\frac{e^a}{a-1} \phantom{AA} & \marud (a-1)e^a \phantom{AA} & \marue (a-1)e^{-a} \\ \\
\maruf \log a & \marug \displaystyle\frac{1}{\log a} & \maruh \displaystyle\frac{\log a}{a-1} & \marui \displaystyle\frac{a-1}{\log a} & \maruj (a-1) \log a
\end{array} \]
キ，サの解答群
\mon[$\marua$] $\displaystyle \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\marub$] $\displaystyle \frac{1}{2n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\maruc$] $\displaystyle \frac{1}{3n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\marud$] $\displaystyle \frac{1}{4n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+2f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\marue$] $\displaystyle \frac{1}{5n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+3f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\maruf$] $\displaystyle \frac{1}{6n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+4f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
ク，シの解答群
\[ \begin{array}{ll}
\marua \displaystyle\frac{(a^n-1) \sqrt{a}}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marub \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{2n}}(a-1)}{n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\
\maruc \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marud \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\
\marue \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{2n(a-1)} & \maruf \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{2n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\
\marug \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruh \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{3n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\
\marui \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+2a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{4n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruj \displaystyle\frac{(a+3 \sqrt{a}+1)(a^n-1)}{5n(a-1)} \\ \\
\maruk \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+4a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{6n(a^\frac{1}{n}-1)} &
\end{array} \]
\end{itemize}
私立 中央大学 2012年 第3問座標平面において，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_0$とし，点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を中心とする半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_1$とする．以下の問いに答えよ．
(1)円$C_0$と内接し，円$C_1$と外接する円$D$の半径を$r$，中心$\mathrm{G}$の座標を$(\alpha,\ \beta)$とするとき，$r$を$\alpha$によって表せ．
(2)中心$\mathrm{G}(\alpha,\ \beta)$の軌跡の方程式を求めよ．
以上で考察した円$D$は無数にあるが，これらの円はどれも点$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{3},\ 0)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{2}{3}$の円$C_2$と特別な位置関係にある．以下ではこのことを調べてみよう．円$D$と円$C_2$の$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(3)直線$\mathrm{PQ}$の方程式を$\alpha,\ \beta$により表せ．
(4)点$\mathrm{P}$の座標$(X,\ Y)$が直線$\mathrm{PQ}$の方程式と円$C_2$の方程式を満たしていることを利用して，$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GP}}=0$を示せ．
(1)円$C_0$と内接し，円$C_1$と外接する円$D$の半径を$r$，中心$\mathrm{G}$の座標を$(\alpha,\ \beta)$とするとき，$r$を$\alpha$によって表せ．
(2)中心$\mathrm{G}(\alpha,\ \beta)$の軌跡の方程式を求めよ．
以上で考察した円$D$は無数にあるが，これらの円はどれも点$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{3},\ 0)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{2}{3}$の円$C_2$と特別な位置関係にある．以下ではこのことを調べてみよう．円$D$と円$C_2$の$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(3)直線$\mathrm{PQ}$の方程式を$\alpha,\ \beta$により表せ．
(4)点$\mathrm{P}$の座標$(X,\ Y)$が直線$\mathrm{PQ}$の方程式と円$C_2$の方程式を満たしていることを利用して，$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GP}}=0$を示せ．
私立 中央大学 2012年 第4問関数$f(x)$の第$n$次導関数を$\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}f(x)$で表す．いま，自然数$n$に対して関数$H_n(x)$を次で定義する．
\[ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} \]
以下の問いに答えよ．
(1)$H_1(x),\ H_2(x),\ H_3(x)$を求めよ．
(2)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx} H_n(x)$を$H_n(x)$と$H_{n+1}(x)$を用いて表せ．さらに，$n$に関する数学的帰納法により$H_n(x)$が$n$次多項式（整式）であることを証明せよ．
(3)$n \geqq 3$のとき，定積分
\[ S_n(a)=\int_0^a xH_n(x) e^{-x^2} \, dx \]
を$H_{n-1}(a)$，$H_{n-2}(a)$，$H_{n-2}(0)$を用いて表せ．ただし，$a$は実数とする．
(4)$n=6$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}S_6(a)$を求めよ．
必要ならば，自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^k e^{-x^2}=0$が成り立つことを用いてよい．
\[ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} \]
以下の問いに答えよ．
(1)$H_1(x),\ H_2(x),\ H_3(x)$を求めよ．
(2)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx} H_n(x)$を$H_n(x)$と$H_{n+1}(x)$を用いて表せ．さらに，$n$に関する数学的帰納法により$H_n(x)$が$n$次多項式（整式）であることを証明せよ．
(3)$n \geqq 3$のとき，定積分
\[ S_n(a)=\int_0^a xH_n(x) e^{-x^2} \, dx \]
を$H_{n-1}(a)$，$H_{n-2}(a)$，$H_{n-2}(0)$を用いて表せ．ただし，$a$は実数とする．
(4)$n=6$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}S_6(a)$を求めよ．
必要ならば，自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^k e^{-x^2}=0$が成り立つことを用いてよい．
私立 愛知工業大学 2012年 第2問$a>0$とする．$xy$平面において，曲線$y=e^x$，$x$軸，$y$軸および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$S(b)=2S(a)$となる$b (b>0)$を$a$の式で表せ．
(2)$(1)$の$b$に対して，$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{b}{a}$を求めよ．
(1)$S(b)=2S(a)$となる$b (b>0)$を$a$の式で表せ．
(2)$(1)$の$b$に対して，$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{b}{a}$を求めよ．
私立 大阪歯科大学 2012年 第1問以下の$[ ]$に入る適切な数値を解答欄に記せ．
(1)$p$を正の実数とする．$2$次方程式$x^2-px+24=0$の$2$つの解の差が$5$であるとき，$p=[ ]$である．
(2)$3^{2012}-2012^3$の$1$の位の数は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{1}{2} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3 -\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^3 \right\}=[ ]$である．
(4)$\displaystyle \int_{-1}^3 (x^2-3x+1) \, dx-\int_1^3 (x^2-3x+1) \, dx=[ ]$である．
(1)$p$を正の実数とする．$2$次方程式$x^2-px+24=0$の$2$つの解の差が$5$であるとき，$p=[ ]$である．
(2)$3^{2012}-2012^3$の$1$の位の数は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{1}{2} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3 -\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^3 \right\}=[ ]$である．
(4)$\displaystyle \int_{-1}^3 (x^2-3x+1) \, dx-\int_1^3 (x^2-3x+1) \, dx=[ ]$である．
私立 大阪歯科大学 2012年 第4問次の問に答えよ．
(1)$xy$平面上の円$x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．ただし，$-\pi<\theta<\pi$とする．直線$\mathrm{AP}$の傾きを$t$としたとき，$\cos \theta$と$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$-\pi<\theta \leqq \pi$とする．$\theta$の関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1+\cos \theta}{3 \cos \theta-2 \sin \theta+5}$の最大値と最小値，またそのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$xy$平面上の円$x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．ただし，$-\pi<\theta<\pi$とする．直線$\mathrm{AP}$の傾きを$t$としたとき，$\cos \theta$と$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$-\pi<\theta \leqq \pi$とする．$\theta$の関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1+\cos \theta}{3 \cos \theta-2 \sin \theta+5}$の最大値と最小値，またそのときの$\theta$の値を求めよ．
私立 北海道科学大学 2012年 第1問$\displaystyle a=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}},\ b=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$のとき$a+b=[$1$]$であり，$a^2+b^2=[$2$]$である．
私立 北海道科学大学 2012年 第6問図において$\mathrm{AD}=\sqrt{7}$，$\mathrm{AC}=\sqrt{3}$，$\displaystyle \mathrm{BC}=\frac{4 \sqrt{3}}{5}$，$\angle \mathrm{BCA}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{DCA}={90}^\circ$とする．このとき$\sin \angle \mathrm{CAB}=[$1$]$であり，$\mathrm{AB}=[$2$]$である．
（図は省略）
（図は省略）