次の各問に答えよ．

(1)正の数$a,\ b$が$a^3+b^3=5$を満たすとき，$a+b$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$x>0,\ x \neq 1$のとき，$\displaystyle 1+\frac{1}{\log_2x}-\frac{3}{\log_3x}<0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が楕円$x^2+5(y-1)^2=5$上を動くとき，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分の長さの最大値を求めよ．
(4)$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & -5 \\
2 & -3
\end{array} \right),\ I=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．$(I+A)^{2012}=mI+nA$となる実数$m,\ n$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x(x-\sqrt{3})$および$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}}y(y-\sqrt{3})$がある．

(i) この$2$つの曲線の交点を求めよ．
(ii) この$2$つの曲線によって囲まれる部分の面積を求めよ．

(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(a \sqrt{2x^2+x+1}-bx)=2$が成り立つような実数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$x \geqq 0$のとき，$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x 3^t(3^t-4)(x-t) \, dt$の最小値を与える$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10}3=a$，$\log_{10}5=b$のとき，$\log_{\frac{3}{2}}48$を$a,\ b$で表すと$\displaystyle \frac{a-[　]b+[　]}{a+[　]b-[　]}$である．
(2)関数$\displaystyle y=12 \sin \theta+5 \cos \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，$y$の取り得る値の範囲は$[　] \leqq y \leqq [　]$である．
(3)ある$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$4$，$y$軸方向に$-6$平行移動すると，$y=-x^2+6x+6$と一致する．もとの$2$次関数は$y=-x^2-[　]x+[　]$である．
(4)赤玉が$5$個，青玉が$4$個入っている袋から$3$個を取り出すとき，少なくとも$1$個が青玉である確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，それぞれの辺の長さを$a=3$，$b=\sqrt{7}$，$c=2$とするとき，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AH}$の長さは$\sqrt{[　]}$である．
(6)$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$が定める平面に原点$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．

数列$\{a_n\}$において，初項$a_1$から第$n$項までの和を$S_n$とし，$S_n$と$a_n$の間に
\[ S_n+3a_n+n-3=0 \]
の関係がある．

(1)初項$a_1$の値は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．
(2)$a_{n+1}$と$a_n$の関係は$\displaystyle a_{n+1}=\frac{[　]}{[　]}a_n-\frac{[　]}{[　]}$である．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項は$\displaystyle a_n=[　] \left( \frac{[　]}{[　]} \right)^n-[　]$である．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ．

(1)$10 \%$の食塩水と$15 \%$の食塩水を混ぜて$12 \%$以上$13 \%$以下の食塩水$1000 \mathrm{g}$を作るには，$10 \%$の食塩水を$[　] \mathrm{g}$以上$[　] \mathrm{g}$以下にすればよい．
(2)$20$から$200$までの整数について$6$で割って$3$余る数の総和を求めると$[　]$である．
(3)$x^2-2xy+y^2+3x-3y+2$を因数分解すると$[　]$である．
(4)$m<\log_4 25<m+1$を満たす整数$m$を求めると$m=[　]$である．
(5)$2^{3-\log_2 x}-2^{\frac{2}{\log_x 4}}+2=0$を$x$について解くと$x=[　]$である．

四角形$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの内角がいずれも${180}^\circ$より小さく，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{CD}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AD}=1$を満たすとする．

(1)$\angle \mathrm{BAD}={60}^\circ$のとき，$\cos \angle \mathrm{BCD}$の値を求めよ．
(2)${90}^\circ \leqq \angle \mathrm{BAD}$であり，$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円の半径が$\displaystyle \frac{3 \sqrt{6}}{4}$のとき，$\triangle \mathrm{BCD}$の外接円の半径を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{A}$を通る$2$つの曲線$C_1,\ C_2$の点$\mathrm{A}$における接線に対して，これらの接線のなす角$\displaystyle \theta \left( \text{ただし} 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を点$\mathrm{A}$における$2$曲線$C_1$と$C_2$のなす角と呼ぶことにする．

(1)$2$次方程式$x^2-1=ax+b$が重解をもつとき，$a$と$b$の間に$b=[$1$]$の関係式が成り立つ．
(2)放物線$y=x^2-1$の点$(1,\ 0)$における接線の方程式は$y=[$2$]$である．
(3)点$(1,\ 0)$における$2$曲線$y=x^2-1$と$y=x^3+3x^2-3x-1$のなす角$\theta$に対して，$\tan \theta$の値は$[$3$]$である．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{CA}=\mathrm{CB}=3$，$\mathrm{AB}=4$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)$\cos \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ア]}{[イ]}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オカ]}$である．
(2)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[キ]$である．
(3)点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に直交する直線$\ell$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}$とすると，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CM}}=\frac{[ク]}{[ケ]} \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)$である．また，点$\mathrm{B}$を通り直線$\mathrm{CA}$に直交する直線と$\ell$の交点を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\frac{[コ]}{[サシ]} \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)$である．
次に，三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とすると，$\displaystyle \mathrm{OH}=\frac{[ス] \sqrt{[セ]}}{[ソタ]}$である．

次は，下図で示されたような原子力発電所等でみられる冷却塔のモデルである．
\[ f(x)=\frac{x-3}{2}+\frac{2}{x-5},\quad 0 \leqq x \leqq \frac{7}{2} \]
とするとき$y=f(x)$のグラフを$x$軸のまわりに$1$回転させてできる図形を考える．
（図は省略）

(1)$f(x)$は$x=[$13$]$において最大値$[$14$]$をとり，$x=[$15$]$において最小値$[$16$]$をとる．
(2)この図形の内部の体積は$[$17$]$である．

次の問題は，生命科学部生命機能学科植物医科学専修を志望する受験生のみ解答せよ．
$t$を正の定数とする．曲線$y=x^3-x$を$C$，$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3-t)$における接線を$\ell$とする．$\ell$の方程式は
\[ y=\left( [ア] t^2-[イ] \right) x-[ウ] t^3 \]
である．
$C$と$\ell$の，$\mathrm{P}$以外の共有点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[エオ] t$である．
$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$m$とすると，$m$の方程式は
\[ y=\left( [カキ] t^2-[イ] \right)x+[クケ] t^3 \]
である．
$C$と$m$の，$\mathrm{Q}$以外の共有点を$\mathrm{R}$とすると，$\mathrm{R}$の$x$座標は$[コ] t$であり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}=18 \left( [サシ] t^6-[スセ] t^4+[ソ] t^2 \right) \]
となる．ここで，
\[ f(t)=\frac{\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}}{18t^6} \]
とおくと，$\displaystyle t=\frac{[タ] \sqrt{[チツ]}}{[チツ]}$のとき，$f(t)$は最小値$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナ]}$をとる．